運動量保存則の導出：作用・反作用の法則と力積から示す

物理力学公式の成立 更新
目次

運動量保存則

2つの物体 A、B が互いに力を及ぼし合うだけで、外からの力の力積が無視できるとき、衝突の前後で運動量の和は変わらない。

mAvA+mBvB=mAvA′+mBvB′ m_Av_A+m_Bv_B=m_Av_A'+m_Bv_B'

（vAv_A、vBv_B は衝突前、vA′v_A'、vB′v_B' は衝突後の速度）

この記事の要点

  • 運動方程式から、運動量の変化は力積に等しい（mv′−mv=Imv'-mv=I）という関係が出る
  • 作用・反作用の法則により、A が受ける力積と B が受ける力積は、大きさが同じで向きが逆
  • 2つの式を足すと力積が消え、運動量の和が変わらないことが分かる

運動量保存則は、衝突や分裂の問題で最初に使う法則です。この記事では、運動方程式と作用・反作用の法則から保存則を導き、反発係数 ee を使う例題と、あらい床の上を進む問題との組み合わせまで進みます。重力加速度は g=9.8 m/s2g=9.8\,\mathrm{m/s^2} とします。

運動量保存則は何を言っているか

質量 mm、速度 vv の物体の運動量を p=mvp=mv と定めます。単位は kg⋅m/s\mathrm{kg\cdot m/s} で、速度と同じ向きをもつベクトルです。

次の図は、質量 2.0 kg2.0\,\mathrm{kg} の A が 6.0 m/s6.0\,\mathrm{m/s} で、静止している 1.0 kg1.0\,\mathrm{kg} の B にぶつかる様子です。衝突の前も後も、運動量の和は 2.0×6.0=12 kg⋅m/s2.0\times6.0=12\,\mathrm{kg\cdot m/s} のままです。

衝突中の2つの力は、大きさが同じで向きが逆（作用・反作用）

衝突のあいだ、A が受ける力と B が受ける力は打ち消し合う ので、2つの運動量の和は動きません。

運動量保存則の導出

出発点にするのは、次の2つの法則です。

  • 運動方程式 ma=Fma=F
  • 作用・反作用の法則（A が B に力 FF を及ぼすとき、B は A に −F-F を及ぼす）

1. 力積と運動量の関係を作る

一定の力 FF が時間 Δt\Delta t のあいだはたらき、速度が vv から v′v' に変わったとします。加速度は a=v′−vΔta=\dfrac{v'-v}{\Delta t} なので、運動方程式に入れます。

m⋅v′−vΔt=Fmv′−mv=FΔt \begin{aligned} m\cdot\frac{v'-v}{\Delta t}&=F\\[4pt] mv'-mv&=F\Delta t \end{aligned}

2行目は、両辺に Δt\Delta t を掛けました。FΔtF\Delta t を力積といい、単位は N⋅s\mathrm{N\cdot s}（=kg⋅m/s=\mathrm{kg\cdot m/s}）です。力が時間とともに変わるときは、時間を細かく区切って足し合わせるので、力積は FF-tt グラフの面積になります。これを II と書くと、運動量の変化は、受けた力積に等しい （mv′−mv=Imv'-mv=I）です。

2. A と B に当てはめる

衝突のあいだ A が受ける力積を IAI_A、B が受ける力積を IBI_B とします。

mAvA′−mAvA=IAmBvB′−mBvB=IB \begin{aligned} m_Av_A'-m_Av_A&=I_A\\[4pt] m_Bv_B'-m_Bv_B&=I_B \end{aligned}

3. 作用・反作用の法則で力積を消す

各瞬間に、B が受ける力が FF なら A が受ける力は −F-F です。接触している時間は同じなので、面積も大きさが同じで符号だけ逆になり、IB=−IAI_B=-I_A です。

2つの力積は面積が同じで符号が逆（衝突を簡単のため三角形のパルスとした）

そこで2つの式を足します。

(mAvA′−mAvA)+(mBvB′−mBvB)=IA+IB=0mAvA+mBvB=mAvA′+mBvB′ \begin{aligned} \left(m_Av_A'-m_Av_A\right)+\left(m_Bv_B'-m_Bv_B\right)&=I_A+I_B=0\\[4pt] m_Av_A+m_Bv_B&=m_Av_A'+m_Bv_B' \end{aligned}

2行目は、速度が衝突前のものを右辺から左辺へ、衝突後のものを左辺から右辺へ移項しました。これが保存則です。

図で見る：反発係数と衝突後の速度

運動量保存則だけでは、衝突後の速度 vA′v_A'、vB′v_B' の2つは決まりません。もう1本の式が反発係数（はね返り係数）ee です。

e=−vA′−vB′vA−vB=vB′−vA′vA−vB e=-\frac{v_A'-v_B'}{v_A-v_B}=\frac{v_B'-v_A'}{v_A-v_B}

分母は近づく速さ、分子は離れる速さです。e=1e=1 は弾性衝突、0≦e<10\le e<1 は非弾性衝突、e=0e=0 は衝突後に一体となる場合です。

離れる速さ ÷ 近づく速さ が反発係数

運動量保存則の使い方の例題

例題

なめらかな水平面上で、質量 2.0 kg2.0\,\mathrm{kg} の物体 A が 6.0 m/s6.0\,\mathrm{m/s} で、静止している質量 1.0 kg1.0\,\mathrm{kg} の物体 B に正面衝突した。反発係数を 0.500.50 として、衝突後の A、B の速度を求めよ。A の進む向きを正とする。

衝突後の速度を vA′v_A'、vB′v_B' とします。運動量保存則より

2.0×6.0+1.0×0=2.0 vA′+1.0 vB′ 2.0\times6.0+1.0\times0=2.0\,v_A'+1.0\,v_B' 12=2vA′+vB′⋯(1) 12=2v_A'+v_B'\qquad\cdots(1)

反発係数の式より、0.50=vB′−vA′6.0−00.50=\dfrac{v_B'-v_A'}{6.0-0} なので

vB′=vA′+3.0⋯(2) v_B'=v_A'+3.0\qquad\cdots(2)

(2)式を(1)式に入れます。

12=2vA′+vA′+3.0vA′=3.0 m/s,vB′=6.0 m/s \begin{aligned} 12&=2v_A'+v_A'+3.0\\[4pt] v_A'&=3.0\ \mathrm{m/s},\quad v_B'=6.0\ \mathrm{m/s} \end{aligned}

検算：B が受けた力積は 1.0×6.0=6.0 N⋅s1.0\times6.0=6.0\,\mathrm{N\cdot s}、A が受けた力積は 2.0×(3.0−6.0)=−6.0 N⋅s2.0\times(3.0-6.0)=-6.0\,\mathrm{N\cdot s} で、大きさが同じ向きが逆です。別の方法として、重心の速度 123.0=4.0 m/s\dfrac{12}{3.0}=4.0\,\mathrm{m/s} から見ると、衝突前の A は +2.0+2.0、B は −4.0-4.0、衝突後は速さが e=0.50e=0.50 倍で向きが逆の −1.0-1.0、+2.0+2.0 なので、元の座標に戻すと 3.03.0、6.0 m/s6.0\,\mathrm{m/s} で一致します。

力学的エネルギー（運動エネルギー）は 36 J36\,\mathrm{J} から 27 J27\,\mathrm{J} に減りました。e<1e<1 の衝突では、運動量は保存されても力学的エネルギーは保存されません（力学的エネルギー保存則の導出 を参照）。

運動量保存則の発展的な使い方

衝突の問題に、仕事とエネルギー（または等加速度直線運動）を組み合わせます。

発展例題

あらい水平面上で、質量 1.0 kg1.0\,\mathrm{kg} の物体 A が 7.0 m/s7.0\,\mathrm{m/s} で、静止している質量 2.0 kg2.0\,\mathrm{kg} の物体 B に正面衝突した。反発係数は 0.500.50、面と物体の間の動摩擦係数は 0.250.25 である。衝突の時間は非常に短く、その間の摩擦の力積は無視できる。

(1) 衝突直後の A、B の速度を求めよ。

(2) 衝突後、B が止まるまでに進む距離を求めよ。

1. 運動量保存則と反発係数で速度を求める

A の進む向きを正とします。保存則より

1.0×7.0=1.0 vA′+2.0 vB′ 1.0\times7.0=1.0\,v_A'+2.0\,v_B'

反発係数より vB′−vA′=0.50×7.0=3.5v_B'-v_A'=0.50\times7.0=3.5 なので、vA′=vB′−3.5v_A'=v_B'-3.5 を入れます。

7.0=vB′−3.5+2.0 vB′vB′=3.5 m/s,vA′=0 m/s \begin{aligned} 7.0&=v_B'-3.5+2.0\,v_B'\\[4pt] v_B'&=3.5\ \mathrm{m/s},\quad v_A'=0\ \mathrm{m/s} \end{aligned}

2. B が止まるまでの距離を求める

B にはたらく動摩擦力は μ′mg\mu' mg で、加速度は −μ′g=−0.25×9.8=−2.45 m/s2-\mu' g=-0.25\times9.8=-2.45\,\mathrm{m/s^2} です。等加速度直線運動の式（等加速度直線運動の公式の導出 を参照）v2−v02=2axv^2-v_0^2=2ax を使います。

0−3.52=2×(−2.45)×xx=12.254.9=2.5 m \begin{aligned} 0-3.5^2&=2\times(-2.45)\times x\\[4pt] x&=\frac{12.25}{4.9}=2.5\ \mathrm{m} \end{aligned}

この問題では、衝突の瞬間は運動量保存則と反発係数で速度を求め、その後の滑りは摩擦の運動で距離を求めました 。

検算（別の方法）：仕事と運動エネルギーの関係より、12×2.0×3.52=0.25×2.0×9.8×x\dfrac{1}{2}\times2.0\times3.5^2=0.25\times2.0\times9.8\times x から x=12.254.9=2.5 mx=\dfrac{12.25}{4.9}=2.5\,\mathrm{m} で一致します。また、一般に vA′=mA−emBmA+mB vAv_A'=\dfrac{m_A-em_B}{m_A+m_B}\,v_A なので、e=mAmB=0.50e=\dfrac{m_A}{m_B}=0.50 のとき A は止まります。

注意

運動量は向きをもつので、正の向きを決めて符号つきで式を立てます。また、運動量保存則は e<1e<1 の衝突でも成り立ちますが、力学的エネルギーは e=1e=1 のときしか保存されません。

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この記事のまとめ

  • 運動方程式から、運動量の変化＝力積（FF-tt グラフの面積）。
  • 作用・反作用の法則で、A と B の力積は大きさが同じで逆向き。足すと mAvA+mBvB=mAvA′+mBvB′m_Av_A+m_Bv_B=m_Av_A'+m_Bv_B'。
  • 衝突後の速度は、保存則と反発係数 e=vB′−vA′vA−vBe=\dfrac{v_B'-v_A'}{v_A-v_B} の2式を連立して求める。

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