等差数列の和の公式の導出：逆順に並べて足す理由を図で確かめる

等差数列の和の公式は、数学Bの「数列」で最初に学ぶ公式です。この記事では、同じ数列を逆順に並べて足すという方法で導き、図で確かめます。等比数列の和は、等比数列の和の公式の導出で紹介しています。

等差数列の和の公式は何を言っているか

公式 $S_n=\dfrac{n(a+l)}{2}$ は、等差数列の和は「初項と末項の平均×項数」で求まる と言っています。等差数列は一定の割合で増えるので、項の平均は、真ん中の値である $\dfrac{a+l}{2}$ になります。

等差数列の和の公式の導出

1. 和を2通りに書く

和を、前から並べた式と、後ろから並べた式の2通りで書きます。

2. 縦に足す

上下の同じ位置の項を足すと、$d$ が打ち消し合って、どれも $a+l$ になります。

3. 2で割る

末項は $l=a+(n-1)d$ なので、これを代入すると $S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$ も得られます。

図で見る

初項 $2$、公差 $3$ の5項（$2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14$）を、高さの棒で表します。青の階段の上に、逆順に並べた橙の階段を重ねると、次の図のようになります。

長方形の面積は $5\times 16=80$ で、和はその半分の $40$ です。実際に $2+5+8+11+14=40$ で一致します。逆順に並べて足すことは、階段を2つ組み合わせて長方形を作ることに当たります 。

使い方の例題

初項 $1$、末項 $100$、項数 $100$ の等差数列の和なので

検算：$1+100,\ 2+99,\ \dots,\ 50+51$ と組を作ると、和が $101$ の組が $50$ 組できるので、$101\times 50=5050$ で一致します。

等差数列の和の公式の発展的な使い方

公差が負の等差数列では、項がいつか負になります。そのとき、和はどこで最大になるかを考えます。

1. 一般項を求める

2. 項が正である範囲を調べる

$53-3n>0$ より $n<\dfrac{53}{3}=17.6\cdots$ です。よって $a_{17}=2>0$、$a_{18}=-1<0$ で、第17項までは正、第18項からは負になります。

正の項を足している間は和が増え、負の項を足し始めると減るので、和は $n=17$ で最大です。

3. 最大値を求める

この問題では、末項 $a_{17}$ を求めて公式 $\dfrac{n(a+l)}{2}$ に入れ、和が増えなくなる境目で最大値を求めました 。

検算（別の方法）：$S_n$ を $n$ の2次式で表すと

軸は $n=\dfrac{103}{6}=17.1\cdots$ で、$n$ は自然数なので、軸に近い $n=17$ と $n=18$ を比べます。$S_{17}=442$、$S_{18}=\dfrac{18\times 49}{2}=441$ なので、最大値は $442$（$n=17$）で一致します（2次関数の最大・最小）。