等加速度直線運動の公式の導出：v-tグラフの面積で3つの式を導く

物理力学公式の成立更新 2026/11/03

等加速度直線運動の公式

一直線上を一定の加速度 $a$ で動く物体について、時刻 $0$ の速度を $v_0$ 、時刻 $t$ の速度を $v$ 、その間の変位を $x$ とすると

\begin{aligned} v&=v_0+at\\[4pt] x&=v_0t+\frac{1}{2}at^2\\[4pt] v^2-v_0^2&=2ax \end{aligned}

この記事の要点

1つ目の式は、加速度の定義「1秒あたりの速度の変化」をそのまま書いたもの
2つ目の式は、v-t グラフの台形の面積が変位になることから出る
3つ目の式は、1つ目と2つ目から時間 $t$ を消したもので、時間が分からない問題で使う

等加速度直線運動の3つの公式は、物理基礎の力学で最初に覚える式です。この記事では、3つの式を加速度の定義と v-t グラフの面積だけから順に導き、そのあと基本の例題と、2次関数と組み合わせる発展的な使い方を紹介します。

等加速度直線運動の公式は何を表しているか

等加速度直線運動とは、一直線上を、加速度が一定のまま動く運動です。右向きを正とすると、物体の動きは次の図のようになります。

時刻 0 から時刻 t までの間に、速度が v₀ から v に変わり、変位 x だけ進む

3つの公式は、 $v_0,\ v,\ a,\ t,\ x$ の5つの量のうち3つが分かれば、残りの2つが求まるようにした式です。

等加速度直線運動の公式の導出

1. 速度の式：加速度の定義から

加速度は、1秒あたりの速度の変化です。時刻 $0$ から $t$ までに速度が $v_0$ から $v$ に変わったので

a=\frac{v-v_0}{t}

両辺に $t$ を掛けて $v_0$ を移項すると

v=v_0+at

2. 変位の式：v-t グラフの面積から

加速度が一定なので、v-t グラフは傾き $a$ の直線になります。物体が進んだ変位は、v-t グラフと時間軸の間の面積で表されます（速度×時間＝変位を、短い時間ごとに足し合わせたもの）。

台形の面積を、長方形 v₀t と三角形 ½at² に分ける

台形を、下の長方形と上の三角形に分けます。長方形は縦 $v_0$ 、横 $t$ 。三角形は底辺 $t$ 、高さ $v-v_0=at$ です。

\begin{aligned} x&=v_0t+\frac{1}{2}\cdot t\cdot at\\[4pt] &=v_0t+\frac{1}{2}at^2 \end{aligned}

3. 時間を含まない式： $t$ を消す

1つ目の式を $t$ について解くと $t=\dfrac{v-v_0}{a}$ （ $a\neq 0$ ）。これを、台形の面積を「上底と下底の和×高さ÷2」で書いた式 $x=\dfrac{(v_0+v)\,t}{2}$ に代入します。

\begin{aligned} x&=\frac{v_0+v}{2}\cdot\frac{v-v_0}{a}\\[4pt] &=\frac{v^2-v_0^2}{2a} \end{aligned}

両辺に $2a$ を掛けて

v^2-v_0^2=2ax

2行目では $(v+v_0)(v-v_0)=v^2-v_0^2$ を使いました。

微分・積分で見る

数学の言葉では、速度は位置を時間で微分したものです（微分は速度、2回微分は加速度）。逆に、位置は速度を積分して求められます。 $v=v_0+at$ を $0$ から $t$ まで積分すると

x=\int_0^t (v_0+at')\,dt'=v_0t+\frac{1}{2}at^2

となり、グラフの面積で求めた式と一致します。v-t グラフの面積を求めることは、積分の計算そのものです。

使い方の例題

例題

速さ $4.0\,\mathrm{m/s}$ で一直線上を進む物体が、進む向きに一定の加速度 $2.0\,\mathrm{m/s^2}$ で $3.0\,\mathrm{s}$ 間加速した。 $3.0\,\mathrm{s}$ 後の速さと、その間に進んだ距離を求めよ。

$v_0=4.0\,\mathrm{m/s}$ 、 $a=2.0\,\mathrm{m/s^2}$ 、 $t=3.0\,\mathrm{s}$ を代入します。

\begin{aligned} v&=4.0+2.0\times 3.0=10\ \mathrm{m/s}\\[4pt] x&=4.0\times 3.0+\frac{1}{2}\times 2.0\times 3.0^2=12+9.0=21\ \mathrm{m} \end{aligned}

検算：3つ目の式で確かめると、 $v^2-v_0^2=100-16=84$ 、 $2ax=2\times 2.0\times 21=84$ で一致します。

等加速度直線運動の公式の発展的な使い方

変位の式は時間 $t$ の2次式です。そのため、2つの物体の距離の差を2次関数として扱えます。

発展例題

止まっていた車 A が、一定の加速度 $2.0\,\mathrm{m/s^2}$ で動き出した。同時に、A の横を車 B が一定の速さ $10\,\mathrm{m/s}$ で同じ向きに通り過ぎた。

(1) A が B に追いつくのは何 s 後か。

(2) 追いつくまでに、B が A より前にいる距離の最大値を求めよ。

1. 2台の位置を時間の式にする

出発点を原点、進む向きを正とします。A は $v_0=0$ 、 $a=2.0\,\mathrm{m/s^2}$ の等加速度直線運動、B は等速直線運動です。

\begin{aligned} x_A&=\frac{1}{2}\times 2.0\times t^2=1.0\,t^2\\[4pt] x_B&=10\,t \end{aligned}

2. 追いつく時刻

$x_A=x_B$ とおくと $t^2=10t$ 、つまり $t(t-10)=0$ 。 $t>0$ なので、 $10\,\mathrm{s}$ 後です（位置は $x_B=100\,\mathrm{m}$ ）。

3. 距離の差を2次関数として最大にする

B が A より前にいる距離は

\begin{aligned} d&=x_B-x_A=10t-t^2\\[4pt] &=-(t-5)^2+25 \end{aligned}

$0<t<10$ で、 $d$ は $t=5\,\mathrm{s}$ のとき最大になり、最大値は $25\,\mathrm{m}$ です（2次関数の最大・最小と同じ考え方）。

5 s までは B が速く差が 25 m 開き、5 s から 10 s で A が 25 m 取り返す

この問題では、変位の式で2台の位置を $t$ の式にし、差を2次関数として最大値を求めました。

検算（別の方法）：差が最大になるのは、2台の速さが等しくなるときのはずです（それまでは B が速く、そのあとは A が速い）。A の速さ $2.0t$ が $10$ になるのは $t=5\,\mathrm{s}$ で一致します。また v-t グラフで、2本の線にはさまれた三角形の面積は $\dfrac{1}{2}\times 5\times 10=25\,\mathrm{m}$ で、最大値と一致します。

注意

公式に入れる $v_0,\ v,\ a,\ x$ は、向きを含む量です。最初に正の向きを決め、逆向きの量（ブレーキの加速度など）は負の値で代入します。また3つの式は、加速度が一定のときだけ使えます。

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この記事のまとめ

$v=v_0+at$ は加速度の定義、 $x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$ は v-t グラフの台形の面積から導ける。
$v^2-v_0^2=2ax$ は、2つの式から時間 $t$ を消したもの。
変位は $t$ の2次式なので、追いつく問題の距離の差は2次関数の最大・最小で求められる。