点と直線の距離の公式の証明：平行移動と垂線の足で導く

点と直線の距離の公式は、分子の絶対値と分母の $\sqrt{\phantom{a}}$ が特徴的で、形を覚えるだけになりがちな公式です。この記事では、平行移動して原点の問題にするという考え方で証明し、そのあと基本の例題と、少し発展的な使い方を紹介します。

点と直線の距離の公式は何を言っているか

点 P と直線 $\ell$ の距離とは、P から $\ell$ に下ろした垂線の長さ $\mathrm{PH}$ のことです（H は垂線の足）。

公式は、垂線の足 H の座標を求めなくても、直線の式の左辺に点の座標を代入した値から距離が分かる、と言っています。

点と直線の距離の公式の証明

$a,\ b$ のうち少なくとも一方は $0$ でないとします（そうでないと直線になりません）。

1. P が原点にくるように平行移動する

$x$ 方向に $-x_0$、$y$ 方向に $-y_0$ だけ全体を平行移動します。平行移動しても距離は変わりません。P は原点 O に、直線 $\ell$ は $x$ を $x+x_0$、$y$ を $y+y_0$ に置きかえた

に移ります。$k=ax_0+by_0+c$ とおくと、これは

です。あとは、原点とこの直線の距離を求めればよくなりました。

2. 原点を通り、直線に垂直な直線を作る

直線 $ax+by+k=0$ に垂直で原点を通る直線は

です。$a,\ b$ がどちらも $0$ でないときは、傾きが $-\dfrac{a}{b}$ と $\dfrac{b}{a}$ で、積が $-1$ になります。$a=0$ なら一方が横の直線・他方が縦の直線、$b=0$ なら一方が縦・他方が横になり、どの場合も垂直です。

3. 垂線の足 H の座標を求める

$ax+by=-k$ と $bx-ay=0$ を連立します。2つ目から $bx=ay$ なので、1つ目に $a$ を掛けた式と2つ目に $b$ を掛けた式を足すと

$a^2+b^2\neq 0$ なので $x=-\dfrac{ak}{a^2+b^2}$。同じように $y$ を求めると、H の座標は

です。

4. OH の長さを計算する

$\mathrm{OH}>0$ なので $\mathrm{OH}=\dfrac{|k|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ です。$k=ax_0+by_0+c$ をもとに戻すと

が得られます。手順2で垂直な直線を $bx-ay=0$ と書いたので、$a=0$ や $b=0$ でも場合分けがいりません 。

使い方の例題

$x_0=2,\ y_0=1,\ a=3,\ b=4,\ c=-5$ を代入します。

点と直線の距離の公式の発展的な使い方

公式を使うと、距離を文字を含む式で表せます。すると、距離の最小値を求める問題を、2次関数の最小値の問題に置きかえられます。

1. P を文字で表す

P は放物線上の点なので、$\mathrm{P}(t,\ t^2)$ とおけます（$t$ は実数）。

2. 直線を $ax+by+c=0$ の形にする

$y=2x-3$ を移項して $2x-y-3=0$ です。

3. 公式で距離を $t$ の式にする

4. 絶対値を外す

平方完成すると $t^2-2t+3=(t-1)^2+2$ で、これはつねに $2$ 以上の正の数です。したがって絶対値はそのまま外せて

5. 2次関数の最小値として求める

$(t-1)^2\ge 0$ なので、$d$ は $t=1$ のとき最小になり、最小値は

そのときの P は $(1,\ 1)$ です。

この問題では、点と直線の距離の公式で距離を $t$ の式にし、2次関数の最小値の問題に置きかえました 。

検算（別の方法）：距離が最小になる点では、放物線の接線が直線と平行になるはずです（図）。$y=x^2$ の接線の傾き $2x$ が直線の傾き $2$ に等しくなるのは $x=1$ のときで、P$(1,\ 1)$ と一致します。また、P から直線への垂線の足は $\left(\dfrac{9}{5},\ \dfrac{3}{5}\right)$ で、2点の距離は $\sqrt{\left(\dfrac{4}{5}\right)^2+\left(\dfrac{2}{5}\right)^2}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ となり、一致します。