テイラー展開を高校数学から：sin x を多項式で近似する

$\lim\dfrac{\sin x}{x}=1$ の証明は、$x$ が $0$ に近いとき $\sin x$ が $x$ とほぼ同じ値になる、ということを示していました。このコラムでは「ほぼ同じ」のずれを調べ、その先にある大学数学のテイラー展開へ進みます。

高校の問題：sin x と x のずれはどれくらいか

$x\to 0$ で分母も分子も $0$ に近づきます。$x-\sin x$ が $x^3$ と同じ速さで $0$ に近づくなら、極限は $0$ でない値になるはずです。

微分で不等式をはさんで解く

$x>0$ とします。次の2つの事実を使います。

• $\sin x<x$（面積のはさみうちで得た不等式）
• $f'(x)>0$ かつ $f(0)=0$ なら、$x>0$ で $f(x)>0$（$f$ は増加関数だから）

1. $\cos x$ を下から押さえる

$f_1(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2}$ とおくと $f_1(0)=0$ です。微分すると

したがって $f_1(x)>0$、つまり $\cos x>1-\dfrac{x^2}{2}$ です。

2. $\sin x$ を下から押さえる

$f_2(x)=\sin x-x+\dfrac{x^3}{6}$ とおくと $f_2(0)=0$ で、

なので $f_2(x)>0$、つまり $\sin x>x-\dfrac{x^3}{6}$ です。

3. $\cos x$ を上から押さえる

$f_3(x)=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\cos x$ とおくと $f_3(0)=0$ で、

なので $\cos x<1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$ です。

4. $\sin x$ を上から押さえる

$f_4(x)=x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}-\sin x$ とおくと $f_4(0)=0$ で、

なので $\sin x<x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}$ です。

5. はさみうちの原理を使う

2 と 4 をあわせて、$x>0$ で

各辺を $-1$ 倍して $x$ を足し、$x^3$ で割ると

$x\to +0$ で左辺は $\dfrac{1}{6}$ に近づくので、$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}$ です。$\dfrac{x-\sin x}{x^3}$ は $x\to -0$ でも同じ値（$x$ を $-x$ にしても変わらない）なので、極限は $\dfrac{1}{6}$ です。

つまり $x-\sin x\fallingdotseq\dfrac{x^3}{6}$、すなわち $\sin x\fallingdotseq x-\dfrac{x^3}{6}$ という、$x$ だけの近似より一段よい近似が得られました。

規則が見える：sin x のテイラー展開

上の流れで出てきた式を並べます。

分母は $6=3!$、$120=5!$ で、符号は $+,-,+$ と交互に変わります。このまま項を増やしたものが、冒頭の式です。

数値でも確かめます。$x=1$ のとき $\sin 1=0.841471\cdots$ で、

項を1つ足すごとに、ずれが大きく減ります。

係数はどう決まるのか

高校の不等式では、式を「当たりをつけて」書きました。大学では、係数を機械的に決めます。$f(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\cdots$ と表せたとして、$x=0$ を代入すると $f(0)=c_0$。微分してから $x=0$ を代入すると $f'(0)=c_1$。もう一度微分すると $f''(0)=2c_2$、さらに微分して $f'''(0)=3\cdot 2\cdot c_3$ となり、一般に

です。$f^{(n)}$ は $n$ 回微分した関数。$f(x)=\sin x$ なら、$(\sin x)'=\cos x$ を繰り返して、$x=0$ での値は $0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ \cdots$ の順になります。偶数番目が $0$、奇数番目が $\pm 1$ で、$\dfrac{x^3}{3!}$ の符号が $-$ になる理由も、これで分かります。

その先：大学数学へ

$x=0$ の近くだけでなく、$x=a$ のまわりで同じことをした

をテイラー展開、$a=0$ の場合をマクローリン展開と呼びます。1715年にブルック・テイラー（イギリス）が一般の式を発表し、1742年にコリン・マクローリン（スコットランド）が著書でその特別な場合を詳しく扱いました。

• べき級数：$x$ の累乗を無限に足した式。$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$ や $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$ も展開できます。$e^{i\theta}$ の項を実部と虚部に分けると $\cos\theta+i\sin\theta$ になり、オイラーの公式も確かめられます。
• 収束：無限に足した結果が決まった値に近づくこと。$\sin x$ は全ての $x$ で収束しますが、$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$ は $|x|<1$ のときだけです。
• ロピタルの定理・ランダウの記号：問題の極限は、$\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+(x^5\text{ 以上の項})$ を代入すれば一行で出ます。大学の極限計算の基本道具です。
• 物理：単振り子の運動方程式で $\sin\theta\fallingdotseq\theta$ とするのは、テイラー展開の第1項だけを使うことです。$\theta=0.2\,\mathrm{rad}$（約 $11^\circ$）でも誤差は約 $0.7\%$ です（単振動）。