tan1°は有理数か（京大2006年）：背理法と加法定理で解く

円周率が3.05より大きいことの証明（東大2003年）と並んで、問題文が1行しかない入試問題として知られています。何を示せばよいかから自分で決める必要があり、数学IIの加法定理と、数学Iの「有理数・無理数」の知識がつながる問題です。

この問題の何が面白いか

$\tan 1^\circ$ の値は、電卓を使っても $0.01745\cdots$ としか分かりません。小数がどこまで続くかを調べても、有理数かどうかは決まりません。

そこで、値を求めずに性質だけで判断する方法を考えます。手がかりは2つです。

• 有理数どうしの和・差・積・商（0 で割る場合を除く）は、また有理数になる
• $\tan 1^\circ$ から、加法定理で $\tan 2^\circ,\ \tan 3^\circ,\ \cdots$ を作れる

解き方：背理法と加法定理

$\tan 1^\circ$ が有理数であると仮定します。加法定理

を使います。$\tan n^\circ$ が有理数なら、右辺は有理数どうしの四則演算なので、$\tan(n+1)^\circ$ も有理数です（$n\le 59$ では $\tan n^\circ\tan 1^\circ<1$ なので、分母は $0$ になりません）。

これを $n=1,\ 2,\ \cdots,\ 59$ と順にくり返すと、$\tan 60^\circ=\sqrt{3}$ も有理数 ということになります。

ところが $\sqrt{3}$ は無理数です。念のため確かめておきます。$\sqrt{3}=\dfrac{m}{k}$（$m,\ k$ は互いに素な自然数）と表せたとすると、両辺を2乗して

右辺は $3$ の倍数なので $m^2$ も $3$ の倍数で、$m$ が $3$ の倍数になります。$m=3m'$ とおくと $9m'^2=3k^2$ より $k^2=3m'^2$ となり、$k$ も $3$ の倍数です。これは $m,\ k$ が互いに素であることに反します。

よって最初の仮定が誤りで、$\tan 1^\circ$ は有理数ではない ことが示されました。

背景：有理数の「閉じている」性質と、ニーベンの定理

この解き方の核心は、有理数の集まりが四則演算で閉じている（計算しても外に出ない）ことです。大学の数学では、このような集まりを**体（たい）**と呼び、方程式の理論などで重要な役割を果たします。

また、角度が「度」で表して有理数のとき、$\tan$ の値が有理数になるのは $0$ と $\pm 1$ の場合だけであることが知られています（ニーベンの定理とその仲間の結果）。たとえば $\tan 0^\circ=0$、$\tan 45^\circ=1$ がその例で、$\tan 1^\circ$ はもちろん、$\tan 2^\circ$ も $\tan 10^\circ$ も有理数ではありません。京大の問題は、この大きな結果のごく一部を、高校の範囲で確かめさせる問題だといえます。

この問題から学べること

• 値が分からなくても性質で判断できる：計算できない数は、仮定して矛盾を探す
• 「閉じている」性質を使う：有理数・整数などの集まりが、どの計算で外に出ないかを意識する
• 矛盾の相手を選ぶ：$\sqrt{3}$ のように「無理数と証明できる値」に向かって進める