相加平均・相乗平均の不等式の証明と使いどころ

$\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均、$\sqrt{ab}$ を相乗平均といいます。この2つの大小関係は、数学IIの「式と証明」で学び、最大・最小の問題で何度も使われます。この記事では、不等式の証明を2通りで確かめ、どんな問題で使えるかを紹介します。

不等式は何を言っているか

たとえば $a=4,\ b=9$ なら、相加平均は $\dfrac{4+9}{2}=6.5$、相乗平均は $\sqrt{36}=6$ で、相加平均のほうが大きくなります。$a=b=5$ なら、どちらも $5$ で等しくなります。

不等式は、正の2数では、相加平均が相乗平均より小さくなることはない と言っています。

相加平均・相乗平均の不等式の証明

1. 左辺から右辺を引く

$a>0,\ b>0$ なので、$a=(\sqrt{a})^2,\ b=(\sqrt{b})^2,\ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ と書けます。

1行目は通分、3行目は $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ の形にまとめました。

2. 符号を調べる

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0$ なので、差は $0$ 以上です。したがって

3. 等号の条件

差が $0$ になるのは $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$、つまり $a=b$ のときだけです。

半円の図で見る

直径が $a+b$ の半円をかき、直径を長さ $a$ と $b$ に分ける点から垂線を立てます。

垂線と円の交点と、直径の両端を結ぶと、直径に対する円周角なので直角三角形ができます。直角三角形の相似から、垂線の長さを $h$ とすると $h^2=ab$、つまり $h=\sqrt{ab}$ です。

一方、半径は $\dfrac{a+b}{2}$ で、半円の中で円周上の点から直径までの距離は半径以下です。よって $\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}$ で、等号は垂線が円の中心を通るとき、つまり $a=b$ のとき です。

使いどころ：和の最小値

不等式を $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ の形にすると、積 $ab$ が一定なら、和 $a+b$ の最小値が分かることになります。

$x>0,\ \dfrac{4}{x}>0$ で、積 $x\cdot\dfrac{4}{x}=4$ は一定です。相加平均と相乗平均の大小関係より

等号は $x=\dfrac{4}{x}$ のとき、つまり $x^2=4$ で $x>0$ より $x=2$ のときに成り立ちます。$x=2$ は条件 $x>0$ を満たすので、**最小値は $4$（$x=2$ のとき）**です。

検算として $x=1,\ 2,\ 3$ を代入すると、$1+4=5$、$2+2=4$、$3+\dfrac{4}{3}=4.33\cdots$ で、$x=2$ のときがいちばん小さくなっています。