素数が無限にあることの証明：ユークリッドの背理法から素数定理・ゼータ関数へ

素数が無限にあることは、2000年以上前のギリシャの数学者ユークリッドの『原論』（第9巻 命題20）に証明が書かれています。このコラムでは、その証明を高校数学の背理法で確かめ、そこから大学数学の素数の研究へどうつながるかを紹介します。

高校数学の問題：素数は無限にあるか

1. 有限個だと仮定する

素数が有限個しかないと仮定し、それを全部並べて $p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n$ とします。

2. 全部かけて1を足す

という数を考えます。並べた素数には $2$ が含まれるので $N\ge 3$ で、$N$ は少なくとも1つの素数で割り切れます（$N$ 自身が素数なら $N$ で割り切れます）。

3. どの素数でも割り切れないことを示す

$N$ を $p_1$ で割ると、$p_1p_2\cdots p_n$ は $p_1$ の倍数なので、余りは $1$ です。$p_2,\ \dots,\ p_n$ で割っても同じで、余りはいつも $1$ になります。つまり $N$ は、並べたどの素数でも割り切れません。

4. 矛盾を導く

手順2で、$N$ を割り切る素数があるはずでした。その素数は手順3より $p_1,\ \dots,\ p_n$ のどれでもないので、「素数はこれで全部」という仮定に反します。よって、素数は無限に存在します 。

よくある誤解：「$p_1p_2\cdots p_n+1$ は素数になる」と覚えている人がいますが、正しくありません。$2+1=3$、$2\cdot3+1=7$、$2\cdot3\cdot5+1=31$、$2\cdot3\cdot5\cdot7+1=211$、$2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11+1=2311$ までは素数ですが、

は素数ではありません。証明で使ったのは「並べた素数以外の素数で割り切れる」ことだけです。

その先1：素数はどのくらいあるか（素数定理）

素数が無限にあると分かると、次は「$x$ 以下に素数はいくつあるか」が気になります。この個数を $\pi(x)$ と書きます（円周率とは別の記号です）。

（$\log x$ は自然対数）

18世紀の終わりごろには、$\pi(x)$ が $\dfrac{x}{\log x}$ に近いことが予想されていました。これは1896年に、アダマールとド・ラ・ヴァレ・プーサンがそれぞれ独立に証明し、素数定理と呼ばれています。$x$ を大きくすると、$\pi(x)$ と $\dfrac{x}{\log x}$ の比が $1$ に近づく、という定理です。表でも比は $1.16$（$x=1000$）、$1.08$（$x=10^6$）と、ゆっくり $1$ に近づいています。

その先2：オイラーの積の式とゼータ関数

素数が無限にあることには、オイラーによる別の証明もあります。使うのは、数学Bの等比数列の和で項の数を限りなく増やした、数学IIIの無限等比級数です。素数 $p$ について、公比 $\dfrac{1}{p}$ は $0<\dfrac{1}{p}<1$ なので和は収束し（$p^{-1}=\dfrac{1}{p}$）

です。これをすべての素数についてかけ合わせると、どの自然数もただ1通りに素因数分解できる（素因数分解の一意性）ので、右辺を展開すると $\dfrac{1}{1},\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3},\ \dots$ がちょうど1回ずつ現れます。

右辺は、数学IIIで学ぶように、いくらでも大きくなる（発散する）和です。もし素数が有限個なら、左辺は有限個の数のかけ算で、決まった値になります。これは矛盾なので、素数は無限にある ことが、今度は「和が発散する」ことから分かります。オイラーは1737年の論文でこの考え方を使い、素数の逆数の和 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\cdots$ も発散することを示しました。

この式の $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots$ を $1+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\cdots$ に一般化したものがゼータ関数 $\zeta(s)$ です。素数定理の証明でもゼータ関数が主役になり、ゼータ関数についての予想（リーマン予想）は、今も解かれていない大問題の1つです。