対数の底の変換公式の証明：指数の形に戻して両辺の対数をとる

$\log_4 8$ のように底と真数がそろっていない対数は、そのままでは計算しにくい形です。底の変換公式を使うと、好きな底にそろえて計算できます。この記事では、対数の定義に戻って公式を証明し、そのあと基本の例題と発展的な使い方を紹介します。

底の変換公式は何を言っているか

$\log_a b$ は「$a$ を何乗すると $b$ になるか」を表す数です。底の変換公式は、底 $a$ の対数を、別の底 $c$ の対数の割り算で表せる ことを言っています。

たとえば $c=2$ にそろえると、$\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}$ と計算できます。

底の変換公式の証明

1. 対数を指数の形に戻す

$x=\log_a b$ とおきます。対数の定義から

2. 両辺の底 $c$ の対数をとる

両辺は正の数なので、底 $c$ の対数をとれます。

3. 指数を前に出す

対数の性質 $\log_c M^k=k\log_c M$ を使うと

4. $\log_c a$ で割る

$a\neq 1$ なので $\log_c a\neq 0$ です。両辺を $\log_c a$ で割ると

$x=\log_a b$ だったので、底の変換公式が得られました。$a\neq 1$ という条件は、手順4で $0$ で割らないために必要です 。

グラフで見る

$c=2$、$a=4$ とすると、公式は $\log_4 x=\dfrac{\log_2 x}{\log_2 4}=\dfrac{\log_2 x}{2}$ です。つまり、$y=\log_4 x$ のグラフは、$y=\log_2 x$ のグラフを縦に $\dfrac{1}{2}$ 倍に縮めたものになります。

底が違う対数どうしは、定数倍の関係にあります。微分で使う自然対数（底 $e$）に直すときも、この公式を使います（(e^x)’=e^x になる理由）。

使い方の例題

真数と底を、同じ数の累乗で書ける底（$2$ と $3$）にそろえます。

検算：$4^{\frac{3}{2}}=(2^2)^{\frac{3}{2}}=2^3=8$、$9^{-\frac{3}{2}}=(3^2)^{-\frac{3}{2}}=3^{-3}=\dfrac{1}{27}$ で、どちらも定義に合っています。

底の変換公式の発展的な使い方

公式で $b=c$ とすると、$\log_a b=\dfrac{\log_b b}{\log_b a}=\dfrac{1}{\log_b a}$ です。つまり

と、逆数をとると底と真数が入れかわります。これを使う問題です。

1. $x,\ y$ を対数で表す

対数の定義から、$x=\log_2 12$、$y=\log_3 12$ です。

2. 逆数を底の変換公式で書きかえる

3. 底 $12$ の対数の計算にする

答えは $1$ です。

この問題では、底の変換公式を逆向きに使って $\dfrac{1}{\log_2 12}$ を $\log_{12}2$ に変え、底を $12$ にそろえました 。

検算（別の方法）：常用対数の近似値 $\log_{10}2=0.3010$、$\log_{10}3=0.4771$ を使うと、$\log_{10}12=2\times0.3010+0.4771=1.0791$。$x=\dfrac{1.0791}{0.3010}=3.585$、$y=\dfrac{1.0791}{0.4771}=2.262$ で、$\dfrac{2}{3.585}+\dfrac{1}{2.262}=0.558+0.442=1.000$ となり一致します。