(sin x)'=cos x の証明：加法定理と sinx/x の極限から導く

数学3C微分法とその応用公式の成立 更新
目次

三角関数の導関数

xx を弧度法（ラジアン）で測るとき

(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x (\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x

この記事の要点

  • 導関数の定義に sin⁡(x+h)\sin(x+h) を入れ、加法定理で sin⁡x\sin x と cos⁡x\cos x の項に分ける
  • 使う極限は lim⁡h→0sin⁡hh=1\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1 と lim⁡h→0cos⁡h−1h=0\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0 の2つ
  • cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) を使うと、(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x もすぐに導ける

三角関数の微分は、数学IIIの微分法で最初に出会う「多項式ではない関数」の微分です。公式は短いですが、導くには加法定理と極限 sin⁡xx→1\dfrac{\sin x}{x}\to 1 の2つを組み合わせる必要があります。この記事では、その組み合わせ方を一行ずつたどります。

(sin x)’=cos x は何を言っているか

導関数 (sin⁡x)′(\sin x)' は、y=sin⁡xy=\sin x のグラフの各点での接線の傾きを表す関数です。公式は、その傾きが cos⁡x\cos x の値に等しいと言っています。

y = sin x の接線の傾き（上）は、y = cos x の値（下）に等しい

たとえば x=0x=0 では sin⁡x\sin x のグラフは傾き 11 で上り、cos⁡0=1\cos 0=1 です。山の頂上 x=π2x=\dfrac{\pi}{2} では傾きが 00 になり、cos⁡π2=0\cos\dfrac{\pi}{2}=0 です。図で見ても、傾きと cos⁡x\cos x の値がそろっています。

(sin x)’=cos x の証明

1. 導関数の定義に入れる

(sin⁡x)′=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡xh (\sin x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}

2. 加法定理で sin⁡(x+h)\sin(x+h) を展開する

sin⁡(x+h)=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h なので、分子は

sin⁡(x+h)−sin⁡x=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h−sin⁡x=sin⁡x (cos⁡h−1)+cos⁡xsin⁡h \begin{aligned} \sin(x+h)-\sin x&=\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x\\[4pt] &=\sin x\,(\cos h-1)+\cos x\sin h \end{aligned}

2行目は sin⁡x\sin x を含む2つの項をまとめました。

3. hh で割って2つの極限に分ける

sin⁡(x+h)−sin⁡xh=sin⁡x⋅cos⁡h−1h+cos⁡x⋅sin⁡hh \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}

sin⁡x\sin x と cos⁡x\cos x は hh を含まないので、h→0h\to 0 の極限では定数として扱えます。あとは cos⁡h−1h\dfrac{\cos h-1}{h} と sin⁡hh\dfrac{\sin h}{h} の極限が分かれば終わりです。

4. lim⁡h→0sin⁡hh=1\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1

これは単位円の面積を比べる「はさみうちの原理」で示される、三角関数の基本的な極限です。

5. lim⁡h→0cos⁡h−1h=0\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0 を示す

分母と分子に cos⁡h+1\cos h+1 を掛けて、sin⁡h\sin h を作ります。

cos⁡h−1h=(cos⁡h−1)(cos⁡h+1)h(cos⁡h+1)=cos⁡2h−1h(cos⁡h+1)=−sin⁡hh⋅sin⁡hcos⁡h+1 \begin{aligned} \frac{\cos h-1}{h}&=\frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}\\[4pt] &=\frac{\cos^2h-1}{h(\cos h+1)}\\[4pt] &=-\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{\sin h}{\cos h+1} \end{aligned}

3行目は cos⁡2h−1=−sin⁡2h\cos^2h-1=-\sin^2h を使いました。h→0h\to 0 のとき sin⁡hh→1\dfrac{\sin h}{h}\to 1、sin⁡hcos⁡h+1→02=0\dfrac{\sin h}{\cos h+1}\to\dfrac{0}{2}=0 なので、全体は −1⋅0=0-1\cdot 0=0 に近づきます。

6. まとめる

手順3の式に、手順4・5の結果を入れると

(sin⁡x)′=sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x (\sin x)'=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x

となり、(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x が証明できました 。

(cos x)’=−sin x を導く

cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) を使います。手順1〜6の計算は xx がどんな値でも成り立つので、xx を x+π2x+\dfrac{\pi}{2} に置きかえても同じように計算でき、sin⁡(x+π2)\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) の導関数は cos⁡(x+π2)\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) になります。したがって

(cos⁡x)′=cos⁡(x+π2)=−sin⁡x \begin{aligned} (\cos x)'&=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\[4pt] &=-\sin x \end{aligned}

2行目は cos⁡(x+π2)=−sin⁡x\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin x を使いました。手順1〜6と同じく、加法定理で直接計算しても同じ結果になります。

例題

曲線 y=sin⁡xy=\sin x 上の点 (π3, 32)\left(\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) における接線の方程式を求めよ。

y′=cos⁡xy'=\cos x なので、接線の傾きは cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} です。

y−32=12(x−π3)y=12x−π6+32 \begin{aligned} y-\frac{\sqrt{3}}{2}&=\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\\[4pt] y&=\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

検算として x=π3x=\dfrac{\pi}{3} を代入すると、π6−π6+32=32\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} となり、接点を通っています。

注意

この公式は、xx を弧度法で測ったときだけ成り立ちます。証明の手順4で使った sin⁡hh→1\dfrac{\sin h}{h}\to 1 が、弧度法でなければ成り立たないからです。角を度で測ると、余分な係数 π180\dfrac{\pi}{180} が付きます。

この記事のまとめ

  • 導関数の定義に加法定理を使い、sin⁡x⋅cos⁡h−1h+cos⁡x⋅sin⁡hh\sin x\cdot\dfrac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\dfrac{\sin h}{h} の形にする。
  • sin⁡hh→1\dfrac{\sin h}{h}\to 1、cos⁡h−1h→0\dfrac{\cos h-1}{h}\to 0 から (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x。
  • cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) から (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x。公式は弧度法でのみ成り立つ。

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