Σk² の公式の導出：(k+1)³−k³ の和で求める方法

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$ は、和を逆順に並べて足す方法で導けました。ところが $\displaystyle\sum k^2$ では、その方法がうまくいきません。そこで使うのが、3乗の差をとって打ち消し合わせるという方法です。この記事では、その流れを一行ずつたどります。

Σk² の公式は何を表すか

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ は、$1$ から $n$ までの平方数を全部足した値です。たとえば $n=3$ なら

公式に $n=3$ を代入すると $\dfrac{1}{6}\cdot 3\cdot 4\cdot 7=14$ で、一致します。公式は、項を1つずつ足さなくても、$n$ を代入するだけで和が求まるようにしたものです。

Σk² の公式の導出

1. 恒等式を用意する

$(k+1)^3$ を展開すると $k^3+3k^2+3k+1$ なので、

がすべての $k$ で成り立ちます。左辺は「3乗の差」、右辺には目的の $k^2$ が入っています。

2. $k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$ を代入して並べる

3. $n$ 本の式を全部足す

左辺は、$k=1$ の行の $2^3$ と $k=2$ の行の $-2^3$ のように、隣の行どうしで同じ数が打ち消し合い、最初の $-1^3$ と最後の $(n+1)^3$ だけが残ります 。右辺は、$k^2$ の項、$k$ の項、定数の項ごとにまとめます。

最後の $n$ は、定数 $1$ を $n$ 回足したものです。

4. $\displaystyle\sum k^2$ について解く

$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2$ とおき、$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$ を代入して $3S$ を残りの項で表します。

$-1-n=-(n+1)$ なので、右辺の3つの項はどれも $(n+1)$ を因数にもちます。$(n+1)$ でくくると

2行目は $(n+1)^2-1=n^2+2n$、4行目は $n^2+\dfrac{1}{2}n=\dfrac{1}{2}n(2n+1)$ としました。両辺を $3$ で割ると

が得られます。

別の確かめ方：数学的帰納法

導いた公式が正しいことは、数学的帰納法でも確かめられます。$S_n=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ とおきます。

• $n=1$ のとき：$S_1=\dfrac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1=1^2$ で成り立つ
• $S_{n+1}-S_n$ が、増えた項 $(n+1)^2$ に等しいことを示す

1行目は共通の $\dfrac{n+1}{6}$ を前に出しました。公式どうしの差が、ちょうど次の項 $(n+1)^2$ になる ので、すべての自然数 $n$ で公式が成り立ちます。

使い方の例題

$k(k+1)=k^2+k$ と分けて、それぞれの公式を使います。

3行目は共通の $\dfrac{1}{6}n(n+1)$ でくくりました（$\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6}$）。

検算として $n=3$ を代入すると、公式は $\dfrac{1}{3}\cdot 3\cdot 4\cdot 5=20$、実際に足すと $1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4=2+6+12=20$ で一致します。