商の微分公式の証明：1/g の微分と積の微分から導く

商の微分公式は、数学IIIの微分法で、分数の形の関数を微分するときに使う公式です。この記事では、まず $\dfrac{1}{g}$ の微分を微分の定義から求め、それを積の微分と組み合わせて導きます。

商の微分公式は何を言っているか

分数の形の関数は、そのままでは微分しにくい形です。公式は、分子と分母をそれぞれ微分すれば、分数全体の微分が計算できる ことを言っています。ただし、$\dfrac{f'}{g'}$ のような単純な形にはならず、分子は引き算、分母は $g$ の2乗になります。

商の微分公式の証明

1. $\dfrac{1}{g(x)}$ を微分の定義から求める

まず、差を通分します。

両辺を $h$ で割ると

$h\to 0$ とすると、$\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\to g'(x)$、$g(x+h)\to g(x)$ なので

（合成関数の微分を学んだあとなら、$y=\dfrac{1}{u}$、$u=g(x)$ として同じ式が確かめられます。）

2. 積の形にして、積の微分を使う

$\dfrac{f}{g}=f\cdot\dfrac{1}{g}$ と見ます。積の微分 $(pq)'=p'q+pq'$ で $p=f$、$q=\dfrac{1}{g}$ とすると

2行目は、1つ目の項の分母と分子に $g$ を掛けて、分母を $g^2$ にそろえました。

定義から導く別の方法

微分の定義から直接計算することもできます。

2行目は、分子に $-f(x)g(x)+f(x)g(x)$（$=0$）を加えて組み直しました。両辺を $h$ で割って $h\to 0$ とすると、$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\to f'(x)$、$\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\to g'(x)$、$g(x+h)\to g(x)$ なので

となり、同じ公式が得られます。分子の引き算の順番は、この組み直しから「$f$ の変化 × $g$ − $f$ × $g$ の変化」の順になる と分かります。

使い方の例題

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ で、$(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$ です（sin x の微分の証明）。

検算：$x=\dfrac{\pi}{4}$ で、$\dfrac{\tan(x+h)-\tan(x-h)}{2h}$ を $h=10^{-5}$ で計算すると $2.0000\cdots$ になります。$\cos^2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2}$ なので $\dfrac{1}{\cos^2x}=2$ となり、一致します。

商の微分公式の発展的な使い方

商の微分公式で導関数を求めると、分数の形の関数の増減と極値が調べられます。分母 $g^2$ はつねに正なので、導関数の符号は分子だけで決まります。

1. 商の微分公式で微分する

$f=x$、$g=x^2+1$ とすると $f'=1$、$g'=2x$ です。

2. 符号を調べる

分母 $(x^2+1)^2$ はつねに正なので、$y'$ の符号は $(1+x)(1-x)$ で決まります。

• $x<-1$ のとき $y'<0$（減少）
• $-1<x<1$ のとき $y'>0$（増加）
• $x>1$ のとき $y'<0$（減少）

3. 極値を求める

$x=-1$ で減少から増加に変わるので極小、$x=1$ で増加から減少に変わるので極大です。

• 極大値 $\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$（$x=1$）
• 極小値 $\dfrac{-1}{1+1}=-\dfrac{1}{2}$（$x=-1$）

この問題では、商の微分公式で導関数を求め、分母がつねに正なので分子の符号だけで増減を調べました 。

検算（別の方法）：相加平均と相乗平均の大小関係でも確かめられます。$x>0$ のとき $x^2+1\ge 2\sqrt{x^2\cdot 1}=2x$ なので $\dfrac{x}{x^2+1}\le\dfrac{1}{2}$（等号は $x=1$）。$y$ は奇関数（$x$ を $-x$ にすると $y$ の符号が変わる）なので、$x<0$ では最小 $-\dfrac{1}{2}$（$x=-1$）となり一致します。