浸透圧の公式 Π=cRT の意味と使い方：気体の状態方程式との比較

化学物質の状態（気体・溶液）公式の成立更新 2026/11/14

浸透圧の公式（ファントホッフの法則）

希薄溶液の浸透圧 $\Pi$ は、溶質のモル濃度 $c$ と絶対温度 $T$ に比例する。体積 $V$ の溶液に溶質が $n$ mol 溶けているとき

\Pi V=nRT,\qquad \Pi=cRT\quad\left(c=\frac{n}{V}\right)

$R$ は気体定数で、 $R=8.31\times10^3\,\mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}$ 。

この記事の要点

半透膜は水分子を通すが、溶質分子は通さない。そのため水が溶液側へ移り、液面に差ができる
それを止めるのに必要な圧力が浸透圧。希薄溶液では、気体の状態方程式とまったく同じ形 $\Pi V=nRT$ が成り立つ
少ない物質量でも大きな圧力になるので、高分子の分子量を求めるのに向いている

浸透圧は、化学の「溶液の性質」で、沸点上昇・凝固点降下と並んで学ぶ性質です。この記事では、浸透圧がどんな圧力かを図で確かめ、その公式が気体の状態方程式と同じ形になっていることを見ていきます。

浸透圧とは何か

半透膜は、水のような小さな分子は通すが、溶質のような大きな分子は通さない膜です。U字管の中央を半透膜で仕切り、片側に純水、もう片側に溶液を入れると、水が溶液側へ移って、溶液側の液面が高くなります。

水が半透膜を通って溶液側へ移り、液面に差 h ができる

膜の近くを分子のレベルで見ると、純水側はすべて水分子ですが、溶液側には膜を通れない溶質分子が混じっています。そのため、純水側から溶液側へ膜を通る水分子のほうが、逆向きより多くなります。

水分子（小）は膜を通れるが、溶質分子（大）は通れない

溶液側に圧力をかけると、この水の移動を止められます。水の移動を止めるために溶液側にかける圧力が、浸透圧 $\Pi$ です。

浸透圧の公式 Π=cRT

浸透圧について、実験から次のことが分かっています。

温度が一定なら、浸透圧は溶質のモル濃度 $c$ に比例する
モル濃度が一定なら、浸透圧は絶対温度 $T$ に比例する

2つをまとめると $\Pi=kcT$ （ $k$ は比例定数）と書けます。測定すると、 $k$ は気体定数 $R$ とほぼ同じ値になります。これをファントホッフの法則といいます。

\Pi=cRT

$c=\dfrac{n}{V}$ を代入して両辺に $V$ を掛けると

\Pi V=nRT

となり、気体の状態方程式 $PV=nRT$ と同じ形です。浸透圧の値は、同じ物質量の気体を同じ体積・同じ温度にしたときの圧力と同じ値になるということです（公式を熱力学から理論的に導くことは、大学で学びます）。

温度が一定なら、浸透圧はモル濃度に比例する（300 K）

浸透圧の公式の使い方（例題）

例題

$27\,{}^\circ\mathrm{C}$ で、 $0.10\,\mathrm{mol/L}$ のブドウ糖水溶液の浸透圧を求めよ。 $R=8.31\times10^3\,\mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}$ とする。

$T=27+273=300\,\mathrm{K}$ です。

\begin{aligned} \Pi&=cRT=0.10\times 8.31\times10^3\times 300\\[4pt] &=2.49\times10^5\fallingdotseq 2.5\times10^5\ \mathrm{Pa} \end{aligned}

検算：単位は $\mathrm{mol/L}\times\mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}\times\mathrm{K}=\mathrm{Pa}$ で合っています。また、気体の状態方程式で、 $1\,\mathrm{L}$ の容器に $0.10\,\mathrm{mol}$ の気体を入れたときの圧力を求めても、 $P=\dfrac{0.10\times 8.31\times10^3\times 300}{1}=2.49\times10^5\,\mathrm{Pa}$ で同じ値になります。大気圧（約 $1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}$ ）の約2.5倍で、浸透圧がかなり大きな圧力であることが分かります。

浸透圧の公式の発展的な使い方

$n=\dfrac{w}{M}$ （ $w$ は質量、 $M$ はモル質量）を代入すると $\Pi V=\dfrac{w}{M}RT$ となり、浸透圧を測れば分子量が求まります。

発展例題

ある高分子化合物 $1.0\,\mathrm{g}$ を水に溶かして $100\,\mathrm{mL}$ にした溶液の浸透圧は、 $27\,{}^\circ\mathrm{C}$ で $2.5\times10^2\,\mathrm{Pa}$ であった。

(1) この高分子化合物の分子量を求めよ。

(2) 同じ溶液の凝固点降下度を見積もり、分子量を求めるのに浸透圧が向いている理由を説明せよ。水のモル凝固点降下は $1.85\,\mathrm{K\cdot kg/mol}$ 、溶液 $100\,\mathrm{mL}$ 中の水の質量は $100\,\mathrm{g}$ とみなす。

1. $M$ について解く

$\Pi V=\dfrac{w}{M}RT$ より

M=\frac{wRT}{\Pi V}

2. 数値を代入する

$V=0.100\,\mathrm{L}$ 、 $T=300\,\mathrm{K}$ です。

\begin{aligned} M&=\frac{1.0\times 8.31\times10^3\times 300}{2.5\times10^2\times 0.100}\\[4pt] &=\frac{2.49\times10^6}{25}\fallingdotseq 1.0\times10^5\ \mathrm{g/mol} \end{aligned}

分子量は約 $1.0\times10^5$ です。

3. 凝固点降下度と比べる

物質量は $\dfrac{1.0}{1.0\times10^5}=1.0\times10^{-5}\,\mathrm{mol}$ 、質量モル濃度は $\dfrac{1.0\times10^{-5}}{0.100}=1.0\times10^{-4}\,\mathrm{mol/kg}$ です。凝固点降下の式より

\begin{aligned} \Delta t&=K_f\,m\\[4pt] &=1.85\times 1.0\times10^{-4}\fallingdotseq 1.9\times10^{-4}\ \mathrm{K} \end{aligned}

温度の変化はわずか $0.0002\,\mathrm{K}$ ほどで、ふつうの温度計では測れません。一方、浸透圧 $2.5\times10^2\,\mathrm{Pa}$ は、水の液面差にすると $h=\dfrac{\Pi}{\rho g}=\dfrac{2.5\times10^2}{1.0\times10^3\times 9.8}\fallingdotseq 0.026\,\mathrm{m}$ （約 $2.6\,\mathrm{cm}$ ）で、目で見て測れる大きさです。

この問題では、 $\Pi V=\dfrac{w}{M}RT$ を $M$ について解いて分子量を求め、凝固点降下と比べて、浸透圧が小さな物質量でも測りやすい量であることを確かめました。

検算（別の方法）：求めた $M=1.0\times10^5$ を使って浸透圧を計算し直すと、 $c=\dfrac{1.0\times10^{-5}}{0.100}=1.0\times10^{-4}\,\mathrm{mol/L}$ 、 $\Pi=1.0\times10^{-4}\times 8.31\times10^3\times 300=2.49\times10^2\,\mathrm{Pa}$ で、問題の値 $2.5\times10^2\,\mathrm{Pa}$ と一致します。

注意

塩化ナトリウムのような電解質は、水中でイオンに分かれるので、粒子の数で考えます。 $0.10\,\mathrm{mol/L}$ の $\mathrm{NaCl}$ 水溶液は、完全に電離すると $\mathrm{Na^+}$ と $\mathrm{Cl^-}$ を合わせて $0.20\,\mathrm{mol/L}$ の粒子を含むので、浸透圧はブドウ糖の約2倍になります。また、温度は必ず絶対温度で代入します。

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この記事のまとめ

浸透圧は、半透膜を通って溶液側へ移る水の流れを止めるのに必要な圧力。
希薄溶液では $\Pi=cRT$ （ $\Pi V=nRT$ ）で、気体の状態方程式と同じ形になる。
少ない物質量でも測りやすい大きさになるので、高分子の分子量を求めるのに使われる。

浸透圧とは何か

浸透圧の公式 Π=cRT

浸透圧の公式の使い方（例題）

浸透圧の公式の発展的な使い方

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