物体が x x x x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x x x F ( x ) F(x) F ( x )
W = ∫ x 1 x 2 F ( x ) d x
W=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,dx
W = ∫ x 1 x 2 F ( x ) d x
力が一定なら仕事は W = F x W=Fx W = F x 力が変わるときは、短い区間に分けて「ほぼ一定」とみなし、足し合わせる。これが定積分 ばねの力 F = k x F=kx F = k x 1 2 k x 2 \dfrac{1}{2}kx^2 2 1 k x 2 物理基礎で学ぶ仕事は W = F x W=Fx W = F x 定積分 がその答えになることを紹介します。微分と速度の関係は微分は速度、2回微分は加速度 で紹介しました。今回はその逆向き、積分の話です。
一定の力の仕事は長方形の面積 一定の力 F F F x x x W = F x W=Fx W = F x F-x グラフ では、高さ F F F x x x F x Fx F x
つまり、仕事は F-x グラフの面積で表せる
と言いかえられます。この見方が、力が変わる場合にそのまま広がります。
力が変わるときは細かく分けて足す 力 F ( x ) F(x) F ( x ) x 1 ≦ x ≦ x 2 x_1\le x\le x_2 x 1 ≦ x ≦ x 2 Δ x \Delta x Δ x F ( x ) Δ x F(x)\,\Delta x F ( x ) Δ x
細い長方形の面積 F(x)Δx を足すと、仕事の近似になる 全体の仕事は、これらの和です。
W ≒ ∑ F ( x ) Δ x
W\fallingdotseq\sum F(x)\,\Delta x
W ≒ ∑ F ( x ) Δ x Δ x \Delta x Δ x 定積分 と呼び、∫ x 1 x 2 F ( x ) d x \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,dx ∫ x 1 x 2 F ( x ) d x ∫ \int ∫
ばねの弾性エネルギーを導く 自然の長さから x x x F = k x F=kx F = k x k k k 0 0 0 x x x
W = ∫ 0 x k s d s = [ 1 2 k s 2 ] 0 x = 1 2 k x 2
\begin{aligned}
W&=\int_0^{x}ks\,ds\\[4pt]
&=\left[\frac{1}{2}ks^2\right]_0^{x}=\frac{1}{2}kx^2
\end{aligned}
W = ∫ 0 x k s d s = [ 2 1 k s 2 ] 0 x = 2 1 k x 2 （積分の文字を s s s x x x 弾性エネルギー 1 2 k x 2 \dfrac{1}{2}kx^2 2 1 k x 2 x x x k x kx k x 1 2 ⋅ x ⋅ k x \dfrac{1}{2}\cdot x\cdot kx 2 1 ⋅ x ⋅ k x 三角関数と単振動 でも紹介しています。
ばね定数 20 N / m 20\,\mathrm{N/m} 20 N/m 0.10 m 0.10\,\mathrm{m} 0.10 m 0.10 m 0.10\,\mathrm{m} 0.10 m 0.20 m 0.20\,\mathrm{m} 0.20 m
W 1 = ∫ 0 0.10 20 s d s = 1 2 × 20 × 0.10 2 = 0.10 J W 2 = ∫ 0.10 0.20 20 s d s = 1 2 × 20 × ( 0.20 2 − 0.10 2 ) = 0.30 J
\begin{aligned}
W_1&=\int_0^{0.10}20s\,ds=\frac{1}{2}\times 20\times 0.10^2=0.10\ \mathrm{J}\\[4pt]
W_2&=\int_{0.10}^{0.20}20s\,ds=\frac{1}{2}\times 20\times(0.20^2-0.10^2)=0.30\ \mathrm{J}
\end{aligned}
W 1 W 2 = ∫ 0 0.10 20 s d s = 2 1 × 20 × 0.1 0 2 = 0.10 J = ∫ 0.10 0.20 20 s d s = 2 1 × 20 × ( 0.2 0 2 − 0.1 0 2 ) = 0.30 J 0.10 J 0.30 J 0.10 0.20 2.0 4.0 F = kx ばねの伸び x [m] 力 F [N] 0 同じ 0.10 m でも、伸びが大きいところほど仕事が大きい 同じ 0.10 m 0.10\,\mathrm{m} 0.10 m 力が伸びに比例して大きくなるので、グラフの面積も後ろほど大きくなる
からです。台形の面積 ( 2.0 + 4.0 ) × 0.10 2 = 0.30 J \dfrac{(2.0+4.0)\times 0.10}{2}=0.30\,\mathrm{J} 2 ( 2.0 + 4.0 ) × 0.10 = 0.30 J
その先：万有引力の位置エネルギー 物理（物理基礎の次の科目）では、地球のまわりの物体の運動を、万有引力 F = G M m r 2 F=\dfrac{GMm}{r^2} F = r 2 GM m G G G M M M r r r r 1 r_1 r 1 r 2 r_2 r 2 r 1 < r 2 r_1<r_2 r 1 < r 2
W = ∫ r 1 r 2 G M m r 2 d r = [ − G M m r ] r 1 r 2 = G M m ( 1 r 1 − 1 r 2 )
\begin{aligned}
W&=\int_{r_1}^{r_2}\frac{GMm}{r^2}\,dr\\[4pt]
&=\left[-\frac{GMm}{r}\right]_{r_1}^{r_2}=GMm\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)
\end{aligned}
W = ∫ r 1 r 2 r 2 GM m d r = [ − r GM m ] r 1 r 2 = GM m ( r 1 1 − r 2 1 ) ここから、万有引力の位置エネルギー − G M m r -\dfrac{GMm}{r} − r GM m m g h mgh m g h r r r
W = ∫ F d x W=\int F\,dx W = ∫ F d x F F F x x x
仕事は F-x グラフの面積。一定の力なら長方形、変わる力なら定積分 ∫ x 1 x 2 F ( x ) d x \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}F(x)\,dx ∫ x 1 x 2 F ( x ) d x 細い長方形 F ( x ) Δ x F(x)\Delta x F ( x ) Δ x ばねの力を積分すると弾性エネルギー 1 2 k x 2 \dfrac{1}{2}kx^2 2 1 k x 2 − G M m r -\dfrac{GMm}{r} − r GM m 
