三角関数と単振動：ばねの運動が sin で表される理由

単振動の式

振幅 $A$ 、角振動数 $\omega$ の単振動では、時刻 $t$ での位置（つり合いの位置からのずれ）が

x=A\sin\omega t

と表され、加速度は $a=-\omega^2x$ となる。ばね定数 $k$ のばねにつながれた質量 $m$ の物体では

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

この記事の要点

ばねにおもりをつけて引っぱり、手をはなすと、おもりは同じ幅で往復をくり返します。物理ではこの運動を単振動と呼び、位置を $x=A\sin\omega t$ と三角関数で表します。この記事では、なぜ往復運動に三角関数が出てくるのかを、数学の言葉で確かめます。

単振動は等速円運動の「影」

半径 $A$ の円周上を、一定の速さで回る点 P を考えます。1秒あたりに回る角を $\omega$ （角速度）とすると、時刻 $t$ に P が回った角は $\omega t$ で、P の高さは

x=A\sin\omega t

です。

等速円運動をする点の高さを時刻ごとに並べると、sin のグラフになる

P を真横から見ると、P の影は $-A$ から $A$ の間を往復します。この影の動きが単振動そのものです。P が1周する時間 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ が、往復1回にかかる時間（周期）になります。

位置を時間で微分すると速度、もう一度微分すると加速度です。 $x=A\sin\omega t$ を $t$ で微分します（合成関数の微分で、中の $\omega t$ の微分 $\omega$ が前に出ます）。

\begin{aligned} v&=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos\omega t\\[4pt] a&=\frac{dv}{dt}=-A\omega^2\sin\omega t \end{aligned}

$a$ の式の $A\sin\omega t$ は $x$ そのものなので

a=-\omega^2x

となります。加速度は、つり合いの位置からのずれ $x$ に比例し、向きは逆です。 $x>0$ なら負の向きに、 $x<0$ なら正の向きに加速します。これが「つり合いの位置に引き戻される」往復運動の正体です。

ばねがのびた（縮んだ）長さ $x$ に比例して、逆向きにはたらく力 $F=-kx$ を弾性力といいます（ $k$ はばね定数）。なめらかな水平面上で、この力だけを受ける質量 $m$ の物体の運動方程式は

ma=-kx\quad\text{より}\quad a=-\frac{k}{m}x

これを前の節の $a=-\omega^2x$ と比べると、 $\omega^2=\dfrac{k}{m}$ のとき2つの式は一致します。したがって、ばねにつながれた物体の運動は（時刻 $0$ につり合いの位置を正の向きに通るようにとれば） $x=A\sin\omega t$ で表され、

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

となります。周期の式に振幅 $A$ が入っていないので、大きく引っぱっても小さく引っぱっても、往復にかかる時間は同じです。

数値で確かめる： $m=0.50$ kg、 $k=50$ N/m のとき

\begin{aligned} \omega&=\sqrt{\frac{50}{0.50}}=\sqrt{100}=10\ \text{[rad/s]}\\[4pt] T&=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}\fallingdotseq 0.63\ \text{[s]} \end{aligned}

おもりは約 $0.63$ 秒で1往復します。

注意

$x=A\sin\omega t$ の $\omega$ を「1秒あたりの往復の回数」と思うのはよくある間違いです。 $\omega$ は1秒あたりに進む角（rad/s）で、1秒あたりの往復の回数（振動数）は $\dfrac{\omega}{2\pi}$ です。

この記事のまとめ

位置・速度・加速度と微分の関係は、微分は速度、2回微分は加速度で紹介しています。