三角形の面積の公式 ½ab sinC の証明：高さを sin で表して導く

数学1A図形と計量（三角比）公式の成立 更新
目次

三角形の面積の公式

△ABC\triangle\mathrm{ABC} の2辺 a=BCa=\mathrm{BC}、b=CAb=\mathrm{CA} とその間の角 CC が分かっているとき、面積 SS は

S=12absin⁡C S=\frac{1}{2}ab\sin C

この記事の要点

  • 「底辺 × 高さ ÷ 2」の高さを、sin⁡C\sin C を使って h=bsin⁡Ch=b\sin C と表すと導ける
  • 角 CC が鋭角・直角・鈍角で図が変わるが、どの場合も h=bsin⁡Ch=b\sin C になる
  • 2辺とその間の角が分かれば面積が出る。四角形は対角線で2つの三角形に分けて使う

中学では面積を「底辺 × 高さ ÷ 2」で求めました。ところが、三角比を使う問題では高さが最初から与えられていることはほとんどなく、与えられるのは2辺とその間の角です。この記事では、高さを sin で表すことで、S=12absin⁡CS=\dfrac{1}{2}ab\sin C がどこから来るのかを確かめます。

三角形の面積の公式が表していること

公式が必要になるのは、次のように高さが分からないときです。

  • 2辺とその間の角（挟角）が分かっている
  • 面積から、辺や角を逆に求めたい

挟角が 90∘90^\circ のときは sin⁡90∘=1\sin 90^\circ=1 なので S=12abS=\dfrac{1}{2}ab となり、直角を挟む2辺を底辺と高さとみた中学の公式に一致します。また、2辺 a, ba,\ b の長さを決めたまま角 CC を動かすと、sin⁡C\sin C は C=90∘C=90^\circ のとき最大の 1 になるので、2辺を決めた三角形の面積は、挟角が直角のとき最大 で、その値は 12ab\dfrac{1}{2}ab です。

三角形の面積の公式の証明：高さを sin で表す

△ABC\triangle\mathrm{ABC} で、BC を底辺とみて、A から直線 BC に下ろした垂線の足を H、高さを h=AHh=\mathrm{AH} とします。面積は

S=12⋅a⋅h S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h

なので、hh を bb と CC で表せれば証明が終わります。ここでは、直角三角形の辺の比（sin⁡\sin の定義）を使います。角 CC の大きさで図の形が変わるため、3通りに分けます。

角 C が鋭角のとき（左）と鈍角のとき（右）の高さ h

(i) C が鋭角のとき

H は辺 BC 上にきます。直角三角形 AHC で、斜辺が AC=b\mathrm{AC}=b、角 C に向かい合う辺が hh なので

h=bsin⁡C h=b\sin C

(ii) C が直角のとき

H は C と一致し、h=AC=bh=\mathrm{AC}=b です。sin⁡90∘=1\sin 90^\circ=1 なので、このときも h=bsin⁡Ch=b\sin C が成り立ちます。

(iii) C が鈍角のとき

H は辺 BC を C の側へ延ばした直線上にきます。直角三角形 AHC の C での角は 180∘−C180^\circ-C なので

h=bsin⁡(180∘−C)=bsin⁡C \begin{aligned} h&=b\sin(180^\circ-C)\\[4pt] &=b\sin C \end{aligned}

2行目では sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta を使いました。

どの場合も h=bsin⁡Ch=b\sin C です。これを S=12ahS=\dfrac{1}{2}ah に代入すると

S=12a⋅bsin⁡C=12absin⁡C S=\frac{1}{2}a\cdot b\sin C=\frac{1}{2}ab\sin C

となり、三角形の面積は、2辺とその間の角の sin で S=12absin⁡CS=\dfrac{1}{2}ab\sin C と表せる ことが示せました。文字を入れかえれば、S=12bcsin⁡A=12casin⁡BS=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B も同じ形で成り立ちます。

注意

sin⁡C\sin C の C は、掛ける2辺の間の角です。aa と bb を掛けるなら C、bb と cc なら A です。辺と角の組み合わせを取り違える間違いがよくあります。

別の導き方：内積から面積を出す

ベクトルで考えても同じ式が出ます。p⃗=CB→\vec{p}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}、q⃗=CA→\vec{q}=\overrightarrow{\mathrm{CA}} とすると、∣p⃗∣=a, ∣q⃗∣=b|\vec{p}|=a,\ |\vec{q}|=b で、内積は 内積の公式 より p⃗⋅q⃗=abcos⁡C\vec{p}\cdot\vec{q}=ab\cos C です。sin⁡C\sin C を cos⁡C\cos C から作るため、sin⁡2C+cos⁡2C=1\sin^2C+\cos^2C=1 を使い、0∘<C<180∘0^\circ<C<180^\circ では sin⁡C>0\sin C>0 なので

sin⁡C=1−cos⁡2C \sin C=\sqrt{1-\cos^2C}

となります。これを S=12absin⁡CS=\dfrac{1}{2}ab\sin C に代入して abab を中に入れると

S=12a2b2−a2b2cos⁡2C=12∣p⃗∣2∣q⃗∣2−(p⃗⋅q⃗)2 \begin{aligned} S&=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2-a^2b^2\cos^2C}\\[4pt] &=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2-\left(\vec{p}\cdot\vec{q}\right)^2} \end{aligned}

成分で p⃗=(p1,p2)\vec{p}=(p_1,p_2)、q⃗=(q1,q2)\vec{q}=(q_1,q_2) とおくと、ルートの中は (p1q2−p2q1)2(p_1q_2-p_2q_1)^2 に等しくなるので、S=12∣p1q2−p2q1∣S=\dfrac{1}{2}\left|p_1q_2-p_2q_1\right| という座標での面積の公式にもつながります。

3辺だけが分かっているときは、この公式と余弦定理から ヘロンの公式 が導けます。また、正弦定理 sin⁡C=c2R\sin C=\dfrac{c}{2R} を代入すると、S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R} が得られます。

使い方の例題

例題

△ABC\triangle\mathrm{ABC} で AB=6, AC=8, A=150∘\mathrm{AB}=6,\ \mathrm{AC}=8,\ A=150^\circ のとき、面積 SS を求めよ。

挟む2辺は AB と AC で、その間の角が A です。公式 S=12bcsin⁡AS=\dfrac{1}{2}bc\sin A を使います。

S=12⋅6⋅8⋅sin⁡150∘=24sin⁡150∘ \begin{aligned} S&=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot\sin 150^\circ\\[4pt] &=24\sin 150^\circ \end{aligned}

150∘150^\circ は鈍角です。sin⁡150∘=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} なので

S=24⋅12=12 S=24\cdot\frac{1}{2}=12

答えは S=12S=12 です。

三角形の面積の公式の発展的な使い方

発展例題

円に内接する四角形 ABCD\mathrm{ABCD} で、AB=2, BC=3, CD=1, DA=2\mathrm{AB}=2,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{CD}=1,\ \mathrm{DA}=2 のとき、cos⁡B\cos B と四角形 ABCD\mathrm{ABCD} の面積 SS を求めよ。

対角線 AC で、三角形 ABC と三角形 ACD に分ける

方針は、対角線 AC で四角形を2つの三角形に分け、面積の公式を2回使うことです。そのために角 B が必要なので、まず余弦定理で AC² を2通りに表します。

角 B を求める：円に内接する四角形では向かい合う角の和が 180∘180^\circ なので、D=180∘−BD=180^\circ-B です。したがって

cos⁡D=−cos⁡B,sin⁡D=sin⁡B \cos D=-\cos B,\qquad \sin D=\sin B

△ABC\triangle\mathrm{ABC} に余弦定理を使うと

AC2=22+32−2⋅2⋅3cos⁡B=13−12cos⁡B \mathrm{AC}^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cos B=13-12\cos B

△ACD\triangle\mathrm{ACD} に余弦定理を使うと

AC2=12+22−2⋅1⋅2cos⁡D=5+4cos⁡B \begin{aligned} \mathrm{AC}^2&=1^2+2^2-2\cdot 1\cdot 2\cos D\\[4pt] &=5+4\cos B \end{aligned}

2つの AC2\mathrm{AC}^2 は等しいので

13−12cos⁡B=5+4cos⁡B16cos⁡B=8cos⁡B=12 \begin{aligned} 13-12\cos B&=5+4\cos B\\[4pt] 16\cos B&=8\\[4pt] \cos B&=\frac{1}{2} \end{aligned}

0∘<B<180∘0^\circ<B<180^\circ より B=60∘B=60^\circ で、sin⁡B=32\sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{2} です。

面積を求める：面積の公式を2回使い、sin⁡D=sin⁡B\sin D=\sin B を代入します。

S=△ABC+△ACD=12⋅2⋅3sin⁡B+12⋅1⋅2sin⁡D=3sin⁡B+sin⁡B=4sin⁡B=4⋅32=23 \begin{aligned} S&=\triangle\mathrm{ABC}+\triangle\mathrm{ACD}\\[4pt] &=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\sin B+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\sin D\\[4pt] &=3\sin B+\sin B\\[4pt] &=4\sin B=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \end{aligned}

答えは cos⁡B=12\cos B=\dfrac{1}{2}、S=23S=2\sqrt{3} です。

この問題では、公式を2回使い、さらに内接四角形で sin⁡D=sin⁡B\sin D=\sin B となることで、2つの三角形の面積を同じ sin⁡B\sin B でまとめました。

この記事のまとめ

  • 底辺 BC、高さ h=bsin⁡Ch=b\sin C を S=12ahS=\dfrac{1}{2}ah に代入して S=12absin⁡CS=\dfrac{1}{2}ab\sin C。
  • 角 C が鋭角・直角・鈍角のどれでも h=bsin⁡Ch=b\sin C。鈍角では sin⁡(180∘−C)=sin⁡C\sin(180^\circ-C)=\sin C を使う。
  • sin⁡C\sin C の C は掛ける2辺の間の角。四角形は対角線で分け、内接なら sin⁡(180∘−B)=sin⁡B\sin(180^\circ-B)=\sin B を使う。

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