三角関数の合成の公式の導出：加法定理を逆向きに使う

数学2B三角関数公式の成立 更新
目次

三角関数の合成

(a, b)≠(0, 0)(a,\ b)\neq(0,\ 0) のとき

asin⁡θ+bcos⁡θ=rsin⁡(θ+α) a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)

ただし r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2}、cos⁡α=ar\cos\alpha=\dfrac{a}{r}、sin⁡α=br\sin\alpha=\dfrac{b}{r}

この記事の要点

  • 座標平面に点 (a, b)(a,\ b) をとると、原点からの距離が rr、xx 軸となす角が α\alpha になる
  • a=rcos⁡αa=r\cos\alpha、b=rsin⁡αb=r\sin\alpha と書きかえると、加法定理の右辺の形になる
  • sin⁡\sin 1つにまとまるので、最大値 rr、最小値 −r-r がすぐ分かる

sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta が足された式は、そのままでは最大値や最小値が分かりにくい形です。三角関数の合成を使うと、sin⁡\sin 1つの式にまとめられます。この記事では、加法定理を逆向きに使って合成の公式を導きます。

三角関数の合成は何を言っているか

sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta は、どちらも周期 2π2\pi の波です。合成の公式は、2つの波を足すと、振幅 rr の1つの正弦曲線になる ことを言っています。

sin θ と √3 cos θ を足すと、振幅 2 の正弦曲線になる

三角関数の合成の導出

1. 点 (a, b)(a,\ b) をとる

座標平面に点 (a, b)(a,\ b) をとります。原点からの距離を rr、xx 軸の正の向きから測った角を α\alpha とします。

点 (a, b) までの距離が r、角が α

三平方の定理から r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2} です。三角比の定義から

cos⁡α=ar,sin⁡α=br \cos\alpha=\frac{a}{r},\quad \sin\alpha=\frac{b}{r}

つまり a=rcos⁡αa=r\cos\alpha、b=rsin⁡αb=r\sin\alpha と書けます。

2. a, ba,\ b を書きかえる

asin⁡θ+bcos⁡θ=rcos⁡αsin⁡θ+rsin⁡αcos⁡θ=r(sin⁡θcos⁡α+cos⁡θsin⁡α) \begin{aligned} a\sin\theta+b\cos\theta&=r\cos\alpha\sin\theta+r\sin\alpha\cos\theta\\[4pt] &=r(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha) \end{aligned}

2行目は、rr でくくり、かけ算の順番を入れかえました。

3. 加法定理を逆向きに使う

かっこの中は、加法定理 sin⁡(θ+α)=sin⁡θcos⁡α+cos⁡θsin⁡α\sin(\theta+\alpha)=\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha の右辺そのものです。

asin⁡θ+bcos⁡θ=rsin⁡(θ+α) a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)

点 (a, b)(a,\ b) を「距離 rr と角 α\alpha」で表し直すことが、合成の考え方の中心です 。

使い方の例題

例題

0≦θ<2π0\le\theta<2\pi のとき、sin⁡θ+3cos⁡θ\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta の最大値と最小値、そのときの θ\theta を求めよ。

a=1a=1、b=3b=\sqrt{3} なので、r=1+3=2r=\sqrt{1+3}=2。cos⁡α=12\cos\alpha=\dfrac{1}{2}、sin⁡α=32\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2} より α=π3\alpha=\dfrac{\pi}{3} です。

sin⁡θ+3cos⁡θ=2sin⁡(θ+π3) \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)

π3≦θ+π3<73π\dfrac{\pi}{3}\le\theta+\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{7}{3}\pi です。sin⁡\sin が 11 になるのは θ+π3=π2\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}、−1-1 になるのは θ+π3=32π\theta+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{2}\pi のときなので

  • 最大値 22（θ=π6\theta=\dfrac{\pi}{6}）
  • 最小値 −2-2（θ=76π\theta=\dfrac{7}{6}\pi）

検算：θ=π6\theta=\dfrac{\pi}{6} を元の式に入れると 12+3⋅32=2\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2、θ=76π\theta=\dfrac{7}{6}\pi では −12+3⋅(−32)=−2-\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2 で一致します。

三角関数の合成の発展的な使い方

sin⁡2θ\sin^2\theta や sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta を含む2次の式も、2倍角の公式で 2θ2\theta の1次式に直すと、合成が使えます。

発展例題

0≦θ≦π20\le\theta\le\dfrac{\pi}{2} のとき、f(θ)=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+3cos⁡2θf(\theta)=\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+3\cos^2\theta の最大値と最小値、そのときの θ\theta を求めよ。

1. 2倍角の公式で次数を下げる

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 と、cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}、2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta を使います。

f(θ)=(sin⁡2θ+cos⁡2θ)+2cos⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ=1+(1+cos⁡2θ)+sin⁡2θ=2+sin⁡2θ+cos⁡2θ \begin{aligned} f(\theta)&=(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta\\[4pt] &=1+(1+\cos 2\theta)+\sin 2\theta\\[4pt] &=2+\sin 2\theta+\cos 2\theta \end{aligned}

2. 合成する

a=1a=1、b=1b=1 なので r=2r=\sqrt{2}、α=π4\alpha=\dfrac{\pi}{4} です。

f(θ)=2+2sin⁡(2θ+π4) f(\theta)=2+\sqrt{2}\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right)

3. 角の範囲から最大・最小を求める

0≦θ≦π20\le\theta\le\dfrac{\pi}{2} より、π4≦2θ+π4≦54π\dfrac{\pi}{4}\le 2\theta+\dfrac{\pi}{4}\le\dfrac{5}{4}\pi です。この範囲で sin⁡(2θ+π4)\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right) は

  • 2θ+π4=π22\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}（θ=π8\theta=\dfrac{\pi}{8}）のとき最大値 11
  • 2θ+π4=54π2\theta+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5}{4}\pi（θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2}）のとき最小値 −22-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

をとります。よって

  • 最大値 2+22+\sqrt{2}（θ=π8\theta=\dfrac{\pi}{8}）
  • 最小値 2+2⋅(−22)=12+\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=1（θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2}）

この問題では、2倍角の公式で sin⁡2θ\sin 2\theta と cos⁡2θ\cos 2\theta の1次式にしてから合成し、角の範囲で最大・最小を読み取りました 。

検算（別の方法）：θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2} を元の式に入れると 1+0+0=11+0+0=1。θ=π8\theta=\dfrac{\pi}{8} では sin⁡2θ=cos⁡2θ=22\sin 2\theta=\cos 2\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} なので、手順1の式から 2+22+\sqrt{2}。また、θ\theta を 00 から π2\dfrac{\pi}{2} まで細かく動かして f(θ)f(\theta) を数値計算すると、最大値 3.414⋯3.414\cdots、最小値 11 で一致します。

注意

α\alpha は、cos⁡α=ar\cos\alpha=\dfrac{a}{r} と sin⁡α=br\sin\alpha=\dfrac{b}{r} の両方を満たす角です。tan⁡α=ba\tan\alpha=\dfrac{b}{a} だけで決めると、a<0a<0 のときに α\alpha を π\pi だけ間違えることがあります。

この記事のまとめ

  • 点 (a, b)(a,\ b) を距離 r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2} と角 α\alpha で表し、加法定理を逆向きに使うと asin⁡θ+bcos⁡θ=rsin⁡(θ+α)a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)。
  • 合成すると、最大値 rr・最小値 −r-r や、角の範囲での最大・最小が読み取れる。
  • 2次の式は、2倍角の公式で 2θ2\theta の1次式にしてから合成する。

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