3次方程式の解の公式と虚数：解の公式の先にある大学数学

まずは高校の方法で解く

$x=4$ を代入すると $64-60-4=0$ なので、因数定理より $x-4$ を因数にもちます。割り算をすると

となり、$x^2+4x+1=0$ を解の公式で解いて、答えは $x=4,\ -2\pm\sqrt{3}$ です。3つとも実数です。

この方法は「$x=4$ に気づけば」使えます。では、気づけないときでも使える3次方程式の解の公式はあるのでしょうか。

3次方程式の解の公式（カルダノの公式）

$x^3=px+q$ の形の3次方程式を考えます。$x=u+v$ とおくと

なので、$3uv=p$、$u^3+v^3=q$ となる $u,\ v$ を見つければ解けます。$u^3$ と $v^3$ は和が $q$、積が $\left(\dfrac{p}{3}\right)^3$ なので、数学IIの解と係数の関係から、次の2次方程式の2つの解です。

これを解の公式で解き、3乗根をとって足したものが、3次方程式の解の公式です。この方法は、1545年にイタリアのカルダノが著書『アルス・マグナ』で発表しました。

実数の答えのために虚数が必要になる

冒頭の方程式は $x^3=15x+4$ なので、$p=15,\ q=4$ です。2次方程式は

で、判別式は $4^2-4\cdot 125<0$ です。解は

となり、虚数が出てきてしまいます。答えはすべて実数のはずなのに、です。

ここで、$(2+i)^3$ を計算してみます。

つまり $u=2+i$、$v=2-i$ とすれば $u^3=2+11i$、$v^3=2-11i$、$uv=5=\dfrac{p}{3}$ を満たし、

と、虚数部分が打ち消し合って実数の答え $4$ が出てきます。実数の答えを公式で求めるのに、虚数を通る必要がある のです。残りの2つの解 $-2\pm\sqrt{3}$ も、$1$ の3乗根 $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}$ を使って $u\omega+v\omega^2$ などとすると得られます。

カルダノ自身もこの不思議な計算に気づいていましたが、意味を十分には説明できませんでした。この場合を詳しく研究したのが、1572年の著書『代数学』を書いたボンベリです。2次方程式では「判別式が負なら実数解なし」で済みましたが、3次方程式では虚数を数として扱わないと先に進めない——これが、複素数が数学に受け入れられていくきっかけの1つになりました。

5次方程式には解の公式がない

『アルス・マグナ』には4次方程式の解き方も載っています。では5次はどうでしょうか。

多くの数学者が挑戦しましたが、1824年にノルウェーのアーベルが、一般の5次方程式は、四則演算と累乗根だけでは解けない ことを証明しました。その後、フランスのガロアは、どんな方程式なら累乗根で解けるのかを判定する方法を考え、そのために群という考え方を使いました。

この「ガロア理論」は、大学の数学科では代数学の講義で、群・環・体という考え方とともに学びます。高校の解の公式は、その入り口にあたります。