力学的エネルギー保存則の導出：仕事と運動エネルギーの関係から

力学的エネルギー保存則は、物理基礎の力学でいちばんよく使う法則の1つです。この記事では、運動方程式から出発して保存則を導き、そのあと基本の例題と、円運動と組み合わせる発展的な使い方を紹介します。重力加速度は $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$ とします。

力学的エネルギー保存則は何を言っているか

$\dfrac{1}{2}mv^2$ を運動エネルギー、$mgh$ を重力による位置エネルギーといい、その和を力学的エネルギーといいます。

保存則は、物体が下りて位置エネルギーが減った分だけ、運動エネルギーが増える ことを言っています。高さ $5.0\,\mathrm{m}$ から滑り出す $1.0\,\mathrm{kg}$ の物体なら、次の図のように、2つのエネルギーの合計はどの高さでも同じです。

力学的エネルギー保存則の導出

1. 仕事と運動エネルギーの関係を作る

一定の力 $F$ を受けて、物体が力の向きに距離 $x$ 進み、速さが $v_0$ から $v$ になったとします。運動方程式 $ma=F$ と、等加速度直線運動の式 $v^2-v_0^2=2ax$ を使います。

2行目は、両辺に $\dfrac{m}{2}$ を掛けました。右辺の $Fx$ は力のした仕事 $W$ です。つまり、運動エネルギーの変化は、された仕事に等しい となります。

2. 重力のする仕事を求める

なめらかな斜面（傾き $\theta$）を、物体が斜面に沿って距離 $L$ だけ下りるとします。

垂直抗力 $N$ は動く向きと垂直なので、仕事をしません。重力の斜面方向の成分は $mg\sin\theta$ なので、重力のする仕事は

$L\sin\theta$ は、下りた高さの差です。高さ $h_0$ から $h$ まで下りたなら $L\sin\theta=h_0-h$ で

斜面の角度 $\theta$ が消えたことから分かるように、重力のする仕事は高さの差だけで決まります。

3. 2つを合わせる

手順1の $W$ に手順2を入れます。

2行目は、$mgh$ を左辺に、$\dfrac{1}{2}mv_0^2$ を右辺に移項しました。左辺はあとの状態、右辺は最初の状態の力学的エネルギーで、これが等しいことが保存則です。

使い方の例題

最初は $v_0=0$、$h_0=5.0\,\mathrm{m}$、床では $h=0$ です。保存則より

質量 $m$ は両辺で消えるので、答えは質量によりません。

検算：斜面の角度を $30^\circ$ とすると、加速度は $g\sin 30^\circ=4.9\,\mathrm{m/s^2}$、斜面の長さは $\dfrac{5.0}{\sin 30^\circ}=10\,\mathrm{m}$。$v^2=2\times 4.9\times 10=98$ で一致します。

力学的エネルギー保存則の発展的な使い方

保存則で速さを求め、それを円運動の運動方程式（物理で学ぶ）に入れると、糸の張力が求まります。

1. 高さの差を求める

支点から P までの鉛直方向の長さは $L\cos 60^\circ$ なので、P は B より

高い位置にあります。

2. 保存則で速さを求める

糸の張力は、おもりの動く向き（円の接線方向）と垂直なので仕事をしません。仕事をするのは重力だけなので、保存則が使えます。

3. 円運動の運動方程式で張力を求める

B では、おもりは半径 $L$ の円運動をしていて、中心（上向き）に向かう力の合計が $m\dfrac{v^2}{L}$ です。

この問題では、保存則で最下点の速さを求め、それを円運動の運動方程式に入れて張力を求めました 。

検算（別の方法）：文字のまま計算すると、$v^2=2gL(1-\cos 60^\circ)=gL$ なので、$T=mg+m\dfrac{gL}{L}=2mg=2\times 0.50\times 9.8=9.8\,\mathrm{N}$ で一致します。張力は、おもりの重さ $mg=4.9\,\mathrm{N}$ のちょうど2倍です。

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