記事一覧 on 受験数学ノート

tan1°は有理数か（京大2006年）：背理法と加法定理で解く

Tue, 03 Nov 2026 01:34:00 +0900

入試問題（2006年度京都大学後期理系第6問）

$\tan 1^\circ$ は有理数か。

この記事の要点

円周率が3.05より大きいことの証明（東大2003年）と並んで、問題文が1行しかない入試問題として知られています。何を示せばよいかから自分で決める必要があり、数学IIの加法定理と、数学Iの「有理数・無理数」の知識がつながる問題です。

Tue, 03 Nov 2026 01:33:00 +0900

高校の問題

3次方程式 $x^3-15x-4=0$ を解け。

この記事の要点

$x=4$ を代入すると $64-60-4=0$ なので、因数定理より $x-4$ を因数にもちます。割り算をすると

Tue, 03 Nov 2026 01:12:00 +0900

入試問題（2003年度東京大学前期理科第6問）

円周率が $3.05$ より大きいことを証明せよ。

この記事の要点

問題文はたった1行ですが、「円周率とは何か」という定義から考えないと手が出ない問題です。この記事では、数学Iの余弦定理だけで解く方法と、その背景にある2000年以上前の考え方を紹介します。

円周率 $\pi$ は「円周の長さ ÷ 直径」で定義される数です。 $3.14\cdots$ という値は知っていても、それを使わずに $\pi>3.05$ を示さなければなりません。

手がかりは、円に内接する多角形の周の長さは、円周より短いことです。2点を結ぶ線の中で、まっすぐな線分がいちばん短いからです。

半径 $1$ の円（円周 $2\pi$ ）に内接する正六角形は、1辺が $1$ の正三角形を6つ並べた形なので、周の長さは $6$ です。

Tue, 03 Nov 2026 01:10:00 +0900

2次方程式の解の公式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0)$ の解は

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

ただし、実数の解をもつのは $b^2-4ac\geqq 0$ のとき。

Tue, 03 Nov 2026 00:49:00 +0900

位置・速度・加速度の関係

時刻 $t$ での位置を $x(t)$ とすると、

v(t)=\frac{dx}{dt},\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}

速度は位置の微分、加速度は速度の微分（位置の2回微分）である。

この記事の要点

Mon, 02 Nov 2026 21:00:00 +0900

2次関数の最大・最小の原則（下に凸のとき）

$f(x)=a(x-p)^2+q\ (a>0)$ の値は、 $x$ が軸 $x=p$ から離れるほど大きくなる。したがって、定義域 $\alpha\le x\le\beta$ では

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