2次関数の最大・最小の場合分け：軸と定義域の位置関係で考える

数学1A 2次関数公式の成立更新 2026/11/02

2次関数の最大・最小の原則（下に凸のとき）

$f(x)=a(x-p)^2+q\ (a>0)$ の値は、 $x$ が軸 $x=p$ から離れるほど大きくなる。したがって、定義域 $\alpha\le x\le\beta$ では

最小値：軸が定義域に入っていれば頂点 $x=p$ 、入っていなければ軸に近いほうの端
最大値：軸から遠いほうの端（定義域の真ん中 $\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ と軸を比べて決める）

この記事の要点

下に凸の2次関数の最小値は、軸が定義域の「左・中・右」のどこにあるかで3通りに分ける。
最大値は、軸が定義域の「真ん中」より左か右かで分ける（軸から遠い端で最大）。
答えが出たら、場合分けの境目で値がつながっているかを確かめる。

「 $a$ を含む2次関数の最大値・最小値を求めよ」という問題は、数学Iの2次関数で最もよく出る形の一つです。場合分けの数や境目を覚えようとすると混乱しますが、グラフの軸がどこにあるかだけを見れば、迷わずに分けられます。

この記事では、まず上の原則がなぜ成り立つのかを確かめ、そのあと例題で場合分けの手順を説明します。

なぜ「軸からの距離」で決まるのか

$a>0$ のとき、 $f(x)=a(x-p)^2+q$ の $(x-p)^2$ は、 $x$ と $p$ の距離 $|x-p|$ の2乗です。

f(x)=a\,|x-p|^2+q

$a>0$ なので、 $|x-p|$ が大きいほど $f(x)$ も大きいことが分かります。また、 $f(p+d)=f(p-d)=ad^2+q$ なので、グラフは軸について左右対称です。

このことから、定義域の中で

値が最も小さいのは、軸に最も近い点（軸が定義域に入っていれば頂点そのもの）
値が最も大きいのは、軸から最も遠い点、つまり両端のどちらか

となります。両端のどちらが軸から遠いかは、軸が定義域の真ん中より左か右かで決まります。これが冒頭の原則です。

次の例題で、この原則を使った場合分けを実際に行います。

例題

$a$ を定数とする。関数 $f(x)=x^2-2ax+3 \ (0 \le x \le 2)$ について、

(1) 最小値を求めよ。　(2) 最大値を求めよ。

平方完成で「軸の位置」を出す

最初にすることは、平方完成して軸と頂点を求めることです。

\begin{aligned} f(x) &= x^2-2ax+3 \\ &= (x-a)^2-a^2+3 \end{aligned}

2行目は、 $(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$ なので、余分に足した $a^2$ を引いて調整しています。

これで、グラフは下に凸の放物線で、軸は $x=a$ 、頂点は $(a,\ -a^2+3)$ だとわかります。 $x^2$ の係数が正なので、軸に近いほど値は小さく、軸から離れるほど値は大きくなります。この性質が、最大・最小を考えるときのすべての出発点です。

定義域は $0 \le x \le 2$ で固定されていて、 $a$ の値によって軸だけが左右に動く、という見方をすると整理しやすくなります。

最小値：軸が定義域の左・中・右で3通り

下に凸のグラフでは、定義域の中で軸に一番近い点で最小になります。軸 $x=a$ が定義域 $0 \le x \le 2$ に対してどこにあるかで、次の3通りに分かれます。

定義域（色の付いた範囲）の中で、軸に一番近い点が最小値になる

(i) $a<0$ のとき（軸が定義域より左）

定義域の中では $x$ が大きくなるほど値が増えるので、左端 $x=0$ で最小です。

f(0)=0-0+3=3

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき（軸が定義域の中）

頂点が定義域に入っているので、頂点 $x=a$ で最小です。

f(a)=-a^2+3

(iii) $a>2$ のとき（軸が定義域より右）

定義域の中では $x$ が大きくなるほど値が減るので、右端 $x=2$ で最小です。

f(2)=4-4a+3=7-4a

以上をまとめると、最小値は次のようになります。

\text{最小値}= \begin{cases} 3 & (a<0 \text{ のとき},\ x=0)\\ -a^2+3 & (0 \le a \le 2 \text{ のとき},\ x=a)\\ 7-4a & (a>2 \text{ のとき},\ x=2) \end{cases}

境目の $a=0$ や $a=2$ をどちらに入れるかは、どちらでも正解です。 $a=0$ のとき (i) の式でも (ii) の式でも値は $3$ になるからです。迷ったら、上のように「軸が定義域に入っているとき」に等号を付けると決めておくと楽です。

最大値：定義域の「真ん中」と軸を比べる

最大値のほうは、軸から遠いほうの端で最大になると考えます。下に凸のグラフでは、定義域の中で軸から一番離れた点が一番高いからです。

どちらの端が軸から遠いかは、定義域の真ん中 $x=1$ と軸を比べれば決まります。

(i) $a<1$ のとき（軸が真ん中より左）

右端 $x=2$ のほうが軸から遠いので、 $x=2$ で最大です。

f(2)=7-4a

(ii) $a=1$ のとき（軸がちょうど真ん中）

両端が軸から同じ距離なので、 $x=0$ と $x=2$ の両方で最大です。

f(0)=f(2)=3

(iii) $a>1$ のとき（軸が真ん中より右）

左端 $x=0$ のほうが軸から遠いので、 $x=0$ で最大です。

f(0)=3

最大値の場合分けに「軸が定義域の中か外か」は関係ありません。最小値と最大値で、場合分けの境目が違う（最小値は $0$ と $2$ 、最大値は $1$ ）ことに注意しましょう。

注意

よくある間違いは、最大値でも「軸が定義域の左・中・右」の3通りに分けてしまうことです。最大値で見るのは端点のどちらが軸から遠いかだけなので、比べる相手は定義域の真ん中です。

検算：境目で値がつながるか確かめる

場合分けの答えは、境目の $a$ を両側の式に代入して、同じ値になるかを確かめると計算ミスに気づけます。グラフが $a$ によってなめらかに動くので、最大値・最小値も境目で急に飛ぶことはないからです。

最小値の $a=0$ ：(i) は $3$ 、(ii) は $-0^2+3=3$ で一致
最小値の $a=2$ ：(ii) は $-4+3=-1$ 、(iii) は $7-8=-1$ で一致
最大値の $a=1$ ：(i) は $7-4=3$ 、(iii) は $3$ で一致

どこか1つでも一致しなければ、平方完成か代入の計算を見直します。最後に、 $a=3$ のような具体的な値で $f(x)=x^2-6x+3$ を作り、 $f(0)=3$ 、 $f(2)=-5$ を直接計算して、最小値 $7-4\cdot 3=-5$ と最大値 $3$ に合うかを見ておくと、さらに安心です。

この記事のまとめ

まず平方完成して、軸の位置を $x=a$ の形で出す。
最小値は「軸が定義域の左・中・右」の3通り（下に凸の場合）。
最大値は「軸が定義域の真ん中より左か右か」で分ける。
境目の値が両側の式で一致するかで検算する。

上に凸のグラフ（ $x^2$ の係数が負）のときは、最大と最小の役割が入れ替わります。最大値が「軸の位置で3通り」、最小値が「真ん中と比べる」になる、と考えれば同じ手順で解けます。