2倍角の公式・半角の公式の導出：加法定理で β=α とおく

数学2B三角関数公式の成立 更新
目次

2倍角の公式・半角の公式

2倍角の公式

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α \begin{aligned} \sin 2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha\\[4pt] \cos 2\alpha&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\\[4pt] \tan 2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{aligned}

半角の公式

sin⁡2α2=1−cos⁡α2,cos⁡2α2=1+cos⁡α2 \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2},\qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}

この記事の要点

  • 2倍角の公式は、加法定理で β=α\beta=\alpha とおくだけで出てくる
  • cos⁡2α\cos 2\alpha は、sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 を使って3つの形に書ける
  • cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta を sin⁡2θ\sin^2\theta について解き、θ=α2\theta=\dfrac{\alpha}{2} とおくと半角の公式になる

2倍角の公式と半角の公式は、数学IIの三角関数で、加法定理のすぐ後に学ぶ公式です。この記事では、加法定理から順に導き、図でも確かめます。

2倍角の公式は何を言っているか

2倍角の公式は、角 2α2\alpha の三角比を、角 α\alpha の三角比だけで表せる ことを言っています。半角の公式は逆に、角 α2\dfrac{\alpha}{2} の三角比を、角 α\alpha の cos⁡\cos で表します。cos⁡45∘\cos 45^\circ が分かれば sin⁡22.5∘\sin 22.5^\circ も求まる、ということです。

2倍角の公式・半角の公式の導出

1. 加法定理で β=α\beta=\alpha とおく

加法定理 sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta で β=α\beta=\alpha とおくと

sin⁡2α=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡α \sin 2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

同じように cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta で β=α\beta=\alpha とおくと

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha

2. cos⁡2α\cos 2\alpha を別の形にする

cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha を代入すると cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha、sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha を代入すると cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1 になります。

3. tan⁡2α\tan 2\alpha

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} で β=α\beta=\alpha とおくと、tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} です（tan⁡2α≠1\tan^2\alpha\neq 1 のとき）。

4. 半角の公式

手順2の cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta を sin⁡2θ\sin^2\theta について解くと sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}。ここで θ=α2\theta=\dfrac{\alpha}{2} とおくと 2θ=α2\theta=\alpha なので

sin⁡2α2=1−cos⁡α2 \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}

cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1 からも同じようにして、cos⁡2α2=1+cos⁡α2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2} が得られます。半角の公式は、2倍角の公式を逆向きに読んだもの です。

図で見る：半円の中の直角三角形

半径 11 の半円で、直径 AB の両端と、円周上の点 P を結びます。中心 O から見た角 ∠POB\angle\mathrm{POB} を 2α2\alpha とすると、円周角の定理より ∠PAB=α\angle\mathrm{PAB}=\alpha、直径に対する円周角なので ∠APB=90∘\angle\mathrm{APB}=90^\circ です。

△APB の面積を2通りに表すと、sin 2α = 2 sin α cos α

直角三角形 APB で、AB=2\mathrm{AB}=2 なので AP=2cos⁡α\mathrm{AP}=2\cos\alpha、PB=2sin⁡α\mathrm{PB}=2\sin\alpha です。一方、P から直径 AB に下ろした垂線の足を H とすると、OP=1\mathrm{OP}=1、∠POB=2α\angle\mathrm{POB}=2\alpha なので PH=sin⁡2α\mathrm{PH}=\sin 2\alpha です。△APB の面積を2通りに表すと

12⋅AB⋅PH=12⋅AP⋅PB \frac{1}{2}\cdot\mathrm{AB}\cdot\mathrm{PH}=\frac{1}{2}\cdot\mathrm{AP}\cdot\mathrm{PB} 12⋅2⋅sin⁡2α=12⋅2cos⁡α⋅2sin⁡α \frac{1}{2}\cdot 2\cdot\sin 2\alpha=\frac{1}{2}\cdot 2\cos\alpha\cdot 2\sin\alpha

となり、sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha が図からも確かめられます（0∘<2α<180∘0^\circ<2\alpha<180^\circ の場合）。

使い方の例題

例題

sin⁡22.5∘\sin 22.5^\circ と cos⁡22.5∘\cos 22.5^\circ の値を求めよ。

半角の公式で α=45∘\alpha=45^\circ とおきます。cos⁡45∘=22\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} なので

sin⁡222.5∘=12(1−22)=2−24cos⁡222.5∘=12(1+22)=2+24 \begin{aligned} \sin^2 22.5^\circ&=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\\[4pt] \cos^2 22.5^\circ&=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2+\sqrt{2}}{4} \end{aligned}

22.5∘22.5^\circ は鋭角なので、どちらも正です。sin⁡22.5∘=2−22\sin 22.5^\circ=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}、cos⁡22.5∘=2+22\cos 22.5^\circ=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} です。

検算：2倍角の公式で 2sin⁡22.5∘cos⁡22.5∘=2⋅(2−2)(2+2)4=(2−2)(2+2)2=4−22=222\sin 22.5^\circ\cos 22.5^\circ=2\cdot\dfrac{\sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}}{4}=\dfrac{\sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}}{2}=\dfrac{\sqrt{4-2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} となり、sin⁡45∘\sin 45^\circ と一致します。

2倍角の公式の発展的な使い方

cos⁡2x\cos 2x と sin⁡x\sin x が混ざった方程式は、cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2x を使うと、sin⁡x\sin x の2次方程式に変わります。

発展例題

0≦x<2π0\le x<2\pi のとき、方程式 cos⁡2x+sin⁡x=0\cos 2x+\sin x=0 を解け。

1. 2倍角の公式で sin⁡x\sin x だけの式にする

1−2sin⁡2x+sin⁡x=02sin⁡2x−sin⁡x−1=0 \begin{aligned} 1-2\sin^2x+\sin x&=0\\[4pt] 2\sin^2x-\sin x-1&=0 \end{aligned}

2. 2次方程式として因数分解する

t=sin⁡xt=\sin x とおくと 2t2−t−1=02t^2-t-1=0 で、(2t+1)(t−1)=0(2t+1)(t-1)=0 より t=1, −12t=1,\ -\dfrac{1}{2} です。どちらも −1≦t≦1-1\le t\le 1 を満たします。

3. xx を求める

sin⁡x=1\sin x=1 より x=π2x=\dfrac{\pi}{2}。sin⁡x=−12\sin x=-\dfrac{1}{2} より x=76π, 116πx=\dfrac{7}{6}\pi,\ \dfrac{11}{6}\pi。答えは

x=π2, 76π, 116π x=\frac{\pi}{2},\ \frac{7}{6}\pi,\ \frac{11}{6}\pi

この問題では、cos⁡2x\cos 2x を 1−2sin⁡2x1-2\sin^2x に直して sin⁡x\sin x にそろえ、2次方程式として解きました 。cos⁡2x\cos 2x の3つの形から、ほかの項（sin⁡x\sin x）に合う形を選ぶのがポイントです。

検算（別の方法）：3つの解を元の式に代入します。x=π2x=\dfrac{\pi}{2} では cos⁡π+sin⁡π2=−1+1=0\cos\pi+\sin\dfrac{\pi}{2}=-1+1=0。x=76πx=\dfrac{7}{6}\pi では cos⁡73π+sin⁡76π=12−12=0\cos\dfrac{7}{3}\pi+\sin\dfrac{7}{6}\pi=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0。x=116πx=\dfrac{11}{6}\pi では cos⁡113π+sin⁡116π=12−12=0\cos\dfrac{11}{3}\pi+\sin\dfrac{11}{6}\pi=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0。また、0≦x<2π0\le x<2\pi を細かく区切って左辺の符号の変化を調べる数値計算でも、解はこの3つだけでした。

注意

半角の公式で sin⁡α2\sin\dfrac{\alpha}{2} を求めるときは、平方根をとる前に α2\dfrac{\alpha}{2} の範囲から符号を決めます。α2\dfrac{\alpha}{2} が第3・第4象限の角なら sin⁡α2<0\sin\dfrac{\alpha}{2}<0 です。

2つの三角関数を1つにまとめる方法は、三角関数の合成で紹介しています。

この記事のまとめ

  • 加法定理で β=α\beta=\alpha とおくと、sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha、cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha。
  • cos⁡2α\cos 2\alpha は 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha、2cos⁡2α−12\cos^2\alpha-1 とも書け、これを逆に読むと半角の公式。
  • cos⁡2x\cos 2x と sin⁡x\sin x が混ざった方程式は、cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2x で2次方程式にする。

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