内積の公式の導出：余弦定理から成分表示 a₁b₁+a₂b₂ へ

内積は「$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$」と定義されるのに、成分で計算すると「$a_1b_1+a_2b_2$」という、角度がどこにも出てこない式になります。なぜこの2つが同じ値になるのでしょうか。この記事では、余弦定理を使ってその理由を確かめます。

内積の公式は何を言っているか

定義 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ は、長さと角度という図形の量で書かれています。一方、成分表示 $a_1b_1+a_2b_2$ は、座標のかけ算と足し算だけで計算できます。

公式は、角度を測らなくても、成分から内積が計算できる ことを言っています。これがあるので、成分で与えられたベクトルのなす角も、内積を通して求められます。

内積の公式の導出：余弦定理を使う

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とし、O、A、B が一直線上にない場合（$0^\circ<\theta<180^\circ$）を考えます。このとき三角形 OAB ができ、辺 AB は $\vec{b}-\vec{a}$ の大きさです。

1. 余弦定理で $\mathrm{AB}^2$ を表す

三角形 OAB で、角 O は $\theta$、$\mathrm{OA}=|\vec{a}|$、$\mathrm{OB}=|\vec{b}|$ なので

2. 成分で $\mathrm{AB}^2$ を表す

$\vec{b}-\vec{a}=(b_1-a_1,\ b_2-a_2)$ なので

2行目は展開して並べかえ、3行目は $|\vec{a}|^2=a_1^2+a_2^2$、$|\vec{b}|^2=b_1^2+b_2^2$ を使いました。

3. 2つを比べる

同じ $\mathrm{AB}^2$ なので、$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2$ を両辺から消して $-2$ で割ると

左辺は内積の定義そのものなので、$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$ が示せました。

一直線上にある場合：$\theta=0^\circ$ または $180^\circ$ のときは三角形ができませんが、$\vec{b}=k\vec{a}$（$k$ は $0$ でない実数）と書けます。$\theta=0^\circ$（$k>0$）なら $\cos\theta=1$、$\theta=180^\circ$（$k<0$）なら $\cos\theta=-1$ で、どちらの場合も左辺 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ と右辺 $a_1b_1+a_2b_2$ はともに $k(a_1^2+a_2^2)$ になります。したがって、公式はすべての場合に成り立ちます。

使い方の例題

成分表示で内積を計算し、定義の式から $\cos\theta$ を求めます。

よって

$0^\circ\le\theta\le 180^\circ$ なので $\theta=45^\circ$ です。

検算として、$\vec{b}-\vec{a}=(-1,\ 2)$ の大きさの2乗 $1+4=5$ と、余弦定理の右辺 $5+10-2\sqrt{5}\sqrt{10}\cos 45^\circ=15-2\cdot 5\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=5$ が一致します。

垂直条件と空間ベクトル

$\theta=90^\circ$ のとき $\cos\theta=0$ なので、$\vec{0}$ でない2つのベクトルについて

が成り立ちます。また、空間ベクトル $\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$、$\vec{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$ でも、同じ導出で

となります。余弦定理は平面上の三角形の定理ですが、空間の3点 O、A、B も1つの平面上にあるので、そのまま使えるからです。