メネラウスの定理の証明：平行線を1本引いて比を移す

数学1A図形の性質公式の成立 更新
目次

メネラウスの定理

△ABC の頂点を通らない直線 ℓ\ell が、辺 AB, CA またはその延長、辺 BC の延長と、それぞれ点 R, Q, P で交わるとき

ARRB⋅BPPC⋅CQQA=1 \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=1

この記事の要点

  • 頂点 C を通り、直線 ℓ\ell に平行な直線を引くと、比を辺 AB の上に集められる
  • 平行線と線分の比の性質で、BPPC\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} と CQQA\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} を AB 上の比に書きかえる
  • かけ合わせると約分されて 11 になる。三角形と、それを横切る直線の組を見つけるのがコツ

メネラウスの定理は、三角形を1本の直線が横切るときの、辺の比の関係です。数学Aの「図形の性質」で、チェバの定理と一緒に学びます。この記事では、平行線を1本引くだけで証明します。

メネラウスの定理は何を言っているか

式の分数は、A → R → B → P → C → Q → A と、頂点と直線との交点を交互にたどって1周する順に並んでいます。三角形を1本の直線が横切るとき、この順に取った3つの比の積は必ず1になる 、というのが定理の中身です。

チェバの定理は「3本の線が1点で交わる」とき、メネラウスの定理は「1本の直線が横切る」ときの定理で、式の形は同じでも使う場面が違います。

メネラウスの定理の証明

ここでは、直線 ℓ\ell が辺 AB と R、辺 CA と Q、辺 BC の延長と P で交わる場合で証明します（ほかの交わり方でも同じ考え方で示せます）。

1. 平行線を引く

頂点 C を通り、直線 ℓ\ell に平行な直線を引き、辺 AB との交点を D とします。

C を通り ℓ に平行な直線（点線）を引き、AB との交点を D とする

2. BPPC\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} を AB 上の比にする

B から出る2本の直線 BA と BP を、平行な2直線 DC と RP が横切っています。平行線と線分の比の性質より

BPPC=BRRD \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}=\frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RD}}

3. CQQA\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} を AB 上の比にする

A から出る2本の直線 AB と AC を、平行な2直線 RQ と DC が横切っています。同じく

CQQA=DRRA \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=\frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{RA}}

4. かけ合わせる

ARRB⋅BPPC⋅CQQA=ARRB⋅BRRD⋅DRRA=1 \begin{aligned} \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} &=\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot\frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RD}}\cdot\frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{RA}}\\[4pt] &=1 \end{aligned}

AR=RA\mathrm{AR}=\mathrm{RA}、RB=BR\mathrm{RB}=\mathrm{BR}、RD=DR\mathrm{RD}=\mathrm{DR} なので、すべて約分されて 11 になります。

使い方の例題

例題

△ABC で、直線 ℓ\ell が辺 AB と R、辺 CA と Q、辺 BC の延長と P で交わっている。AR:RB=2:3\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=2:3、BP:PC=5:2\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=5:2 のとき、CQ:QA\mathrm{CQ}:\mathrm{QA} を求めよ。

メネラウスの定理より

23⋅52⋅CQQA=1CQQA=35 \begin{aligned} \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}&=1\\[4pt] \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}&=\frac{3}{5} \end{aligned}

よって CQ:QA=3:5\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=3:5 です。

検算：座標で確かめます。A(0, 6)\mathrm{A}(0,\ 6)、B(0, 0)\mathrm{B}(0,\ 0)、C(4, 0)\mathrm{C}(4,\ 0) とすると、R(0, 185)\mathrm{R}\left(0,\ \dfrac{18}{5}\right)、P(203, 0)\mathrm{P}\left(\dfrac{20}{3},\ 0\right)。直線 RP：y=−2750x+185y=-\dfrac{27}{50}x+\dfrac{18}{5} と直線 CA：y=−32x+6y=-\dfrac{3}{2}x+6 の交点は Q(52, 94)\mathrm{Q}\left(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{9}{4}\right) です。xx 座標の差で比べると CQ:QA=(4−52):(52−0)=3:5\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=\left(4-\dfrac{5}{2}\right):\left(\dfrac{5}{2}-0\right)=3:5 で一致します。

メネラウスの定理の発展的な使い方

メネラウスの定理は、2本の線分の交点が、線分をどんな比に分けるかを求めるときによく使います。どの三角形と、どの直線を組にするかを見つけるのがポイントです。

発展例題

△ABC で、辺 AB を 1:21:2 に分ける点を R、辺 BC を 3:13:1 に分ける点を D とし、線分 AD と CR の交点を P とする。次の比を求めよ。

(1) AP:PD\mathrm{AP}:\mathrm{PD}

(2) CP:PR\mathrm{CP}:\mathrm{PR}

1. (1) は △ABD と直線 RC を組にする

△ABD の辺 AB を R で、辺 DA を P で、辺 BD の延長を C で、直線 RC が横切っています。

△ABD（色付き）を、直線 RC が横切る

A → R → B → C → D → P → A の順にたどります。BC:CD=4:1\mathrm{BC}:\mathrm{CD}=4:1 なので

ARRB⋅BCCD⋅DPPA=112⋅41⋅DPPA=1 \begin{aligned} \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}\cdot\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PA}}&=1\\[4pt] \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{1}\cdot\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PA}}&=1 \end{aligned}

DPPA=12\dfrac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PA}}=\dfrac{1}{2} より、AP:PD=2:1\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=2:1 です。

2. (2) は △BCR と直線 AD を組にする

△BCR の辺 BC を D で、辺 CR を P で、辺 RB の延長を A で、直線 AD が横切っています。B → D → C → P → R → A → B の順にたどると、RA:AB=1:3\mathrm{RA}:\mathrm{AB}=1:3 なので

BDDC⋅CPPR⋅RAAB=131⋅CPPR⋅13=1 \begin{aligned} \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PR}}\cdot\frac{\mathrm{RA}}{\mathrm{AB}}&=1\\[4pt] \frac{3}{1}\cdot\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PR}}\cdot\frac{1}{3}&=1 \end{aligned}

よって CP:PR=1:1\mathrm{CP}:\mathrm{PR}=1:1 です。

この問題では、求めたい比の線分を1辺にもつ三角形と、それを横切る直線の組を選び、メネラウスの定理を2回使いました 。

検算（別の方法）：A(0, 6)\mathrm{A}(0,\ 6)、B(0, 0)\mathrm{B}(0,\ 0)、C(4, 0)\mathrm{C}(4,\ 0) とすると R(0, 4)\mathrm{R}(0,\ 4)、D(3, 0)\mathrm{D}(3,\ 0) で、直線 AD：y=−2x+6y=-2x+6 と直線 CR：y=−x+4y=-x+4 の交点は P(2, 2)\mathrm{P}(2,\ 2) です。AP=4+16=25\mathrm{AP}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}、PD=1+4=5\mathrm{PD}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5} で 2:12:1、CP=PR=8\mathrm{CP}=\mathrm{PR}=\sqrt{8} で 1:11:1 となり、一致します。

注意

メネラウスの定理を使うときは、まず「どの三角形」と「どの直線」かを決めます。次に、三角形の頂点と直線との交点を交互にたどって1周します。頂点から頂点へ飛ばしたり、途中で向きを変えたりすると、比の積が1になりません。

この記事のまとめ

  • C を通り ℓ\ell に平行な直線を引くと、BPPC\dfrac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} と CQQA\dfrac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} を AB 上の比に移せて、積が 11 になる。
  • 式は、頂点と交点を交互にたどって1周する順に書く。
  • 交点が線分を分ける比は、「三角形」と「横切る直線」の組を選んで求める。

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