光電効果の式の意味：K=hν−W を光子のエネルギー保存で読む

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目次

光電効果の式

金属に振動数 ν\nu の光を当てたとき、飛び出す光電子の最大運動エネルギー Kmax⁡K_{\max} は、プランク定数を hh、仕事関数を WW として

Kmax⁡=12mvmax⁡2=hν−W K_{\max}=\frac{1}{2}mv_{\max}^2=h\nu-W

Kmax⁡≧0K_{\max}\ge 0 となるのは ν≧ν0=Wh\nu\ge\nu_0=\dfrac{W}{h}（限界振動数）のときだけで、光の強さにはよらない。

この記事の要点

  • 光は振動数 ν\nu に比例するエネルギー hνh\nu をもつ粒（光子）で、1個の光子が1個の電子にエネルギーを渡す
  • 電子が金属から出るのに最低 WW が要るので、残りの hν−Wh\nu-W が運動エネルギーになる
  • 強い光は光子の数が多いだけなので、電子の数（光電流）が増え、1個ごとのエネルギーは変わらない

金属に光を当てると電子が飛び出す現象が光電効果です。光を波と考えると、強い光ほど電子は大きなエネルギーをもらうはずですが、実験では振動数が低いと、どんなに強い光でも電子は出ません。この記事では、この結果を式 Kmax⁡=hν−WK_{\max}=h\nu-W でどう説明するかを、図と数値で読み解きます。使う値は h=6.63×10−34 J⋅sh=6.63\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}、e=1.60×10−19 Ce=1.60\times10^{-19}\,\mathrm{C}、m=9.11×10−31 kgm=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}、c=3.00×108 m/sc=3.00\times10^{8}\,\mathrm{m/s} です。

光電効果の式 ½mv²=hν−W の意味

実験装置は光電管です。金属板 K に光を当てて出た電子（光電子）を、電極 P で集めて電流計で測ります。

光電管：K に光を当て、飛び出した光電子を P で受ける

式の各項は次のとおりです。

  • hνh\nu：光子1個のエネルギー（hh はプランク定数）
  • WW：電子を金属の外へ出すのに最低限必要なエネルギー（仕事関数。金属ごとに決まる）
  • Kmax⁡K_{\max}：飛び出した電子のうち、最大の運動エネルギー

光電効果の式の導出：エネルギー保存から

出発点は2つです。光子説（光は振動数 ν\nu の光子の流れで、光子1個のエネルギーは hνh\nu）と、エネルギー保存則（力学的エネルギーの保存と同じ考え方）です。

1. 光子1個は電子1個に、エネルギーを全部渡す

hν=(電子が出るのに使う分)+(運動エネルギー) h\nu=(\text{電子が出るのに使う分})+(\text{運動エネルギー})

2. 金属の表面近くの電子は、最小の WW で出られる

内部の電子は、出るまでに余分にエネルギーを失います。失う分が最小の電子が、最大の運動エネルギーをもちます。

hν=W+Kmax⁡ h\nu=W+K_{\max}

3. Kmax⁡K_{\max} について解く

両辺から WW を引きます。

Kmax⁡=hν−W K_{\max}=h\nu-W

4. 限界振動数

電子が出るには Kmax⁡≧0K_{\max}\ge 0 が必要です。hν−W≧0h\nu-W\ge 0 を ν\nu について解くと

ν≧Wh=ν0 \nu\ge\frac{W}{h}=\nu_0

ν0\nu_0 より低い振動数の光では、強さをどれだけ上げても光電子は出ません 。光子1個のエネルギーが足りず、高校の範囲では、光子2個以上が1個の電子に協力することはないからです。

グラフで見る：K-ν グラフと阻止電圧

式 Kmax⁡=hν−WK_{\max}=h\nu-W は ν\nu の1次式なので、グラフは傾き hh の直線です。ν=0\nu=0 に延ばした切片が −W-W、Kmax⁡=0K_{\max}=0 となる横軸の点が ν0\nu_0 です。

金属が変わると切片 −W と ν₀ は変わるが、傾き h は同じ

Kmax⁡K_{\max} は、P の電位を K より低くして電流を止める阻止電圧 V0V_0 から測ります。電子が逆向きの電場にさからってする仕事 eV0eV_0 が、ちょうど Kmax⁡K_{\max} を使い切るときなので

eV0=Kmax⁡=hν−W eV_0=K_{\max}=h\nu-W

光を強くすると、光子の数が増えて飽和電流が大きくなりますが、V0V_0 は変わりません。

光の強さは電流の大きさを、振動数は阻止電圧を決める（模式図）

光電効果の式の使い方の例題

例題

仕事関数が 3.2×10−19 J3.2\times10^{-19}\,\mathrm{J} の金属に、波長 3.0×10−7 m3.0\times10^{-7}\,\mathrm{m} の光を当てる。

(1) この金属の限界振動数を求めよ。

(2) 光電子の最大運動エネルギーと最大の速さを求めよ。

(3) 阻止電圧を求めよ。

(1) ν0=Wh\nu_0=\dfrac{W}{h} より

ν0=3.2×10−196.63×10−34=4.8×1014 Hz \nu_0=\frac{3.2\times10^{-19}}{6.63\times10^{-34}}=4.8\times10^{14}\ \mathrm{Hz}

(2) 光の振動数は ν=cλ=3.00×1083.0×10−7=1.0×1015 Hz\nu=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3.00\times10^{8}}{3.0\times10^{-7}}=1.0\times10^{15}\,\mathrm{Hz} で、ν>ν0\nu>\nu_0 なので電子が出ます。

Kmax⁡=hν−W=6.63×10−34×1.0×1015−3.2×10−19=3.43×10−19≈3.4×10−19 J \begin{aligned} K_{\max}&=h\nu-W\\[4pt] &=6.63\times10^{-34}\times1.0\times10^{15}-3.2\times10^{-19}\\[4pt] &=3.43\times10^{-19}\approx 3.4\times10^{-19}\ \mathrm{J} \end{aligned}

12mv2=Kmax⁡\dfrac{1}{2}mv^2=K_{\max} より、途中の 3.433.43 を使って

v=2Kmax⁡m=2×3.43×10−199.11×10−31=8.7×105 m/s v=\sqrt{\frac{2K_{\max}}{m}}=\sqrt{\frac{2\times3.43\times10^{-19}}{9.11\times10^{-31}}}=8.7\times10^{5}\ \mathrm{m/s}

(3) eV0=Kmax⁡eV_0=K_{\max} より

V0=3.43×10−191.60×10−19=2.1 V V_0=\frac{3.43\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}=2.1\ \mathrm{V}

検算：エネルギーを eV で考えます。1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV}=1.60\times10^{-19}\,\mathrm{J} なので W=2.0 eVW=2.0\,\mathrm{eV}、hν=6.63×10−191.60×10−19=4.14 eVh\nu=\dfrac{6.63\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}=4.14\,\mathrm{eV} です。Kmax⁡=4.14−2.0=2.14 eVK_{\max}=4.14-2.0=2.14\,\mathrm{eV} で、これは阻止電圧 2.14 V2.14\,\mathrm{V} に一致します。単位は J⋅s×Hz=J\mathrm{J\cdot s\times Hz}=\mathrm{J}、J/C=V\mathrm{J/C}=\mathrm{V} で合っています。

光電効果の式の発展的な使い方：測定値から h と W を求める

式を逆向きに使うと、阻止電圧の測定値から、金属の性質 WW や自然定数 hh が求まります。直線 eV0=hν−WeV_0=h\nu-W 上の2点を使います。

発展例題

ある金属に振動数 6.0×1014 Hz6.0\times10^{14}\,\mathrm{Hz} の光を当てると阻止電圧は 0.60 V0.60\,\mathrm{V}、振動数 1.0×1015 Hz1.0\times10^{15}\,\mathrm{Hz} の光では 2.25 V2.25\,\mathrm{V} だった。e=1.60×10−19 Ce=1.60\times10^{-19}\,\mathrm{C} として、

(1) プランク定数 hh を求めよ。

(2) この金属の仕事関数 WW と限界振動数 ν0\nu_0 を求めよ。

(1) 2つの測定について eV0=hν−WeV_0=h\nu-W を書きます。

e×0.60=h×6.0×1014−We×2.25=h×1.0×1015−W \begin{aligned} e\times0.60&=h\times6.0\times10^{14}-W\\[4pt] e\times2.25&=h\times1.0\times10^{15}-W \end{aligned}

WW を消すために、下の式から上の式を引きます。

e (2.25−0.60)=h (1.0×1015−6.0×1014) e\,\left(2.25-0.60\right)=h\,\left(1.0\times10^{15}-6.0\times10^{14}\right) h=1.60×10−19×1.654.0×1014=6.6×10−34 J⋅s h=\frac{1.60\times10^{-19}\times1.65}{4.0\times10^{14}}=6.6\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}

(2) 上の式を WW について解きます。

W=h×6.0×1014−e×0.60=6.6×10−34×6.0×1014−1.60×10−19×0.60=3.96×10−19−0.96×10−19=3.0×10−19 J \begin{aligned} W&=h\times6.0\times10^{14}-e\times0.60\\[4pt] &=6.6\times10^{-34}\times6.0\times10^{14}-1.60\times10^{-19}\times0.60\\[4pt] &=3.96\times10^{-19}-0.96\times10^{-19}=3.0\times10^{-19}\ \mathrm{J} \end{aligned} ν0=Wh=3.0×10−196.6×10−34=4.5×1014 Hz \nu_0=\frac{W}{h}=\frac{3.0\times10^{-19}}{6.6\times10^{-34}}=4.5\times10^{14}\ \mathrm{Hz}

この問題では、V0V_0-ν\nu の直線の傾きが h/eh/e、横軸との交点が ν0\nu_0 であることを使いました 。

検算（別の方法）：もう一方の測定値で WW を計算し直します。6.6×10−34×1.0×1015−1.60×10−19×2.25=6.6×10−19−3.6×10−19=3.0×10−19 J6.6\times10^{-34}\times1.0\times10^{15}-1.60\times10^{-19}\times2.25=6.6\times10^{-19}-3.6\times10^{-19}=3.0\times10^{-19}\,\mathrm{J} で一致します。

注意

「光を強くすると電子の速さが増す」は誤りです。強さは光子の数を決め、1個の電子の最大エネルギーは振動数だけで決まります。また、Kmax⁡K_{\max} は最大値なので、飛び出した電子すべてが同じ速さではありません。

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この記事のまとめ

  • 光子1個のエネルギー hνh\nu が、仕事関数 WW と運動エネルギーに分かれる（エネルギー保存）：Kmax⁡=hν−WK_{\max}=h\nu-W。
  • ν<ν0=W/h\nu<\nu_0=W/h では、光を強くしても電子は出ない。K-ν グラフは傾き hh の直線。
  • 光の強さは光電流を、振動数は阻止電圧 V0V_0（eV0=Kmax⁡eV_0=K_{\max}）を決める。

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