気体の状態方程式 PV=nRT の導出：ボイル・シャルルの法則から

化学物質の状態（気体・溶液）公式の成立 更新
目次

気体の状態方程式

圧力 PP、体積 VV、物質量 nn、絶対温度 TT の気体について

PV=nRT PV=nRT

RR は気体定数で、R=8.31×103 Pa⋅L/(K⋅mol)R=8.31\times10^3\,\mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}（体積を m3\mathrm{m^3} で表すと 8.31 J/(K⋅mol)8.31\,\mathrm{J/(K\cdot mol)}）。

この記事の要点

  • ボイルの法則とシャルルの法則を2段階で使うと、PVT\dfrac{PV}{T} が一定というボイル・シャルルの法則になる
  • アボガドロの法則から PVT\dfrac{PV}{T} は物質量 nn に比例するので、比例定数を RR とおくと PV=nRTPV=nRT
  • RR の値は、0 ∘C0\,{}^\circ\mathrm{C}、1.013×105 Pa1.013\times10^5\,\mathrm{Pa} で 1 mol1\,\mathrm{mol} の気体が 22.4 L22.4\,\mathrm{L} になることから求まる

気体の状態方程式は、化学の気体の計算でいちばんよく使う式です。この記事では、教科書で先に学ぶボイルの法則・シャルルの法則・アボガドロの法則から PV=nRTPV=nRT を導き、そのあと基本の例題と、分子量を求める発展的な使い方を紹介します。

気体の状態方程式は何を表しているか

気体の状態は、圧力 PP・体積 VV・温度 TT・物質量 nn の4つの量で決まります。状態方程式は、4つの量のうち3つが分かれば、残りの1つが計算で求まる ことを表しています。

もとになる2つの法則は次のとおりです（物質量は一定）。

  • ボイルの法則：温度が一定なら、PVPV は一定（圧力を2倍にすると体積は半分）
  • シャルルの法則：圧力が一定なら、VT\dfrac{V}{T} は一定（体積は絶対温度に比例）
ボイルの法則：温度が一定なら P と V は反比例（0.20 mol の気体）
シャルルの法則：直線を延ばすと −273 ℃（0 K）で V = 0 になる

シャルルの法則の直線は、延ばすと −273 ∘C-273\,{}^\circ\mathrm{C} で体積が 00 になります。そこで −273 ∘C-273\,{}^\circ\mathrm{C} を 00 とする絶対温度 T=t+273T=t+273（単位 K）を使うと、体積が TT に比例する、と簡単に書けます。

気体の状態方程式の導出

1. 2段階に分けて状態を変える

状態1（P1, V1, T1P_1,\ V_1,\ T_1）から状態2（P2, V2, T2P_2,\ V_2,\ T_2）へ、次の図のように2段階で変えます。

温度一定で圧力を変え、次に圧力一定で温度を変える

途中の体積を V′V' とします。前半は温度が T1T_1 で一定なので、ボイルの法則より

P1V1=P2V′ P_1V_1=P_2V'

後半は圧力が P2P_2 で一定なので、シャルルの法則より

V′T1=V2T2 \frac{V'}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}

2. 途中の体積 V′V' を消す

1つ目の式から V′=P1V1P2V'=\dfrac{P_1V_1}{P_2}、2つ目の式から V′=T1V2T2V'=\dfrac{T_1V_2}{T_2} です。この2つを等しいとおきます。

P1V1P2=T1V2T2P1V1T1=P2V2T2 \begin{aligned} \frac{P_1V_1}{P_2}&=\frac{T_1V_2}{T_2}\\[4pt] \frac{P_1V_1}{T_1}&=\frac{P_2V_2}{T_2} \end{aligned}

2行目は、両辺に P2T1\dfrac{P_2}{T_1} を掛けました。これがボイル・シャルルの法則で、物質量が一定なら PVT\dfrac{PV}{T} は一定です。

3. 物質量 nn を入れる

アボガドロの法則より、同じ温度・同じ圧力では、気体の体積は物質量に比例します。したがって PVT\dfrac{PV}{T} も nn に比例し、1 mol1\,\mathrm{mol} あたりの値を RR とおくと

PVT=nR \frac{PV}{T}=nR

両辺に TT を掛けて PV=nRTPV=nRT が得られます。RR は気体の種類によらない定数 です。

4. RR の値を求める

0 ∘C0\,{}^\circ\mathrm{C}（273 K273\,\mathrm{K}）、1.013×105 Pa1.013\times10^5\,\mathrm{Pa} で、1 mol1\,\mathrm{mol} の気体の体積は 22.4 L22.4\,\mathrm{L} です。

R=PVnT=1.013×105×22.41×273=8.31×103 Pa⋅L/(K⋅mol) \begin{aligned} R&=\frac{PV}{nT}=\frac{1.013\times10^5\times 22.4}{1\times 273}\\[4pt] &=8.31\times10^3\ \mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)} \end{aligned}

使い方の例題

例題

27 ∘C27\,{}^\circ\mathrm{C} で、体積 5.0 L5.0\,\mathrm{L} の容器に気体を 0.20 mol0.20\,\mathrm{mol} 入れた。容器内の圧力を求めよ。気体定数は R=8.31×103 Pa⋅L/(K⋅mol)R=8.31\times10^3\,\mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)} とする。

温度を絶対温度にすると T=27+273=300 KT=27+273=300\,\mathrm{K}。PV=nRTPV=nRT を PP について解いて代入します。

P=nRTV=0.20×8.31×103×3005.0=9.97×104≒1.0×105 Pa \begin{aligned} P&=\frac{nRT}{V}=\frac{0.20\times 8.31\times10^3\times 300}{5.0}\\[4pt] &=9.97\times10^4\fallingdotseq 1.0\times10^5\ \mathrm{Pa} \end{aligned}

検算：0 ∘C0\,{}^\circ\mathrm{C}、1.013×105 Pa1.013\times10^5\,\mathrm{Pa} で 0.20 mol0.20\,\mathrm{mol} の体積は 0.20×22.4=4.48 L0.20\times22.4=4.48\,\mathrm{L}。ボイル・シャルルの法則で 300 K300\,\mathrm{K}、5.0 L5.0\,\mathrm{L} に直すと P=1.013×105×4.485.0×300273=9.97×104 PaP=1.013\times10^5\times\dfrac{4.48}{5.0}\times\dfrac{300}{273}=9.97\times10^4\,\mathrm{Pa} で一致します。

気体の状態方程式の発展的な使い方

物質量 nn は、質量 ww とモル質量 MM を使って n=wMn=\dfrac{w}{M} と書けます。これを状態方程式に入れると、気体の質量と体積から分子量が求まります。

発展例題

ある揮発性の液体を加熱してすべて気体にしたところ、100 ∘C100\,{}^\circ\mathrm{C}、1.0×105 Pa1.0\times10^5\,\mathrm{Pa} で体積が 0.50 L0.50\,\mathrm{L}、質量が 0.74 g0.74\,\mathrm{g} であった。この物質の分子量を求めよ。R=8.31×103 Pa⋅L/(K⋅mol)R=8.31\times10^3\,\mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)} とする。

1. 状態方程式に n=wMn=\dfrac{w}{M} を入れる

PV=wMRT PV=\frac{w}{M}RT

2. MM について解く

M=wRTPV M=\frac{wRT}{PV}

3. 数値を代入する

T=100+273=373 KT=100+273=373\,\mathrm{K} です。

M=0.74×8.31×103×3731.0×105×0.50=45.87⋯≒46 g/mol \begin{aligned} M&=\frac{0.74\times 8.31\times10^3\times 373}{1.0\times10^5\times 0.50}\\[4pt] &=45.87\cdots\fallingdotseq 46\ \mathrm{g/mol} \end{aligned}

分子量は 46 です。

この問題では、状態方程式の nn を wM\dfrac{w}{M} に置きかえ、「物質量を求める式」を「分子量を求める式」に変えて使いました 。

検算（別の方法）：この条件で 1 mol1\,\mathrm{mol} の気体が占める体積は RTP=8.31×103×3731.0×105=31.0 L\dfrac{RT}{P}=\dfrac{8.31\times10^3\times373}{1.0\times10^5}=31.0\,\mathrm{L} です。0.50 L0.50\,\mathrm{L} の物質量は 0.5031.0=0.0161 mol\dfrac{0.50}{31.0}=0.0161\,\mathrm{mol} で、0.740.0161=46\dfrac{0.74}{0.0161}=46 となり一致します。

注意

温度は必ず絶対温度（T=t+273T=t+273）で代入します。また、R=8.31×103R=8.31\times10^3 を使うときは体積を L、圧力を Pa にそろえます。体積を m3\mathrm{m^3} で表すときは R=8.31R=8.31 を使います。

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この記事のまとめ

  • ボイルの法則とシャルルの法則を2段階で使うと、PVT\dfrac{PV}{T} が一定になる。
  • アボガドロの法則から PVT=nR\dfrac{PV}{T}=nR となり、PV=nRTPV=nRT が得られる。R=8.31×103 Pa⋅L/(K⋅mol)R=8.31\times10^3\,\mathrm{Pa\cdot L/(K\cdot mol)}。
  • n=wMn=\dfrac{w}{M} を入れると、気体の質量と体積から分子量を求められる。

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