ケプラーの第3法則の導出：万有引力と円運動から導く方法

物理力学公式の成立更新 2026/11/14

ケプラーの第3法則

質量 $M$ の天体のまわりを円軌道（半径 $r$ ）で回る物体の公転周期を $T$ とすると、万有引力定数 $G$ を使って

\frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM}

右辺は中心の天体で決まる定数なので、周期の2乗は軌道半径の3乗に比例する。

この記事の要点

向心力の正体は万有引力。円運動の運動方程式 $m\dfrac{v^2}{r}=G\dfrac{Mm}{r^2}$ を立てる
速さを $v=\dfrac{2\pi r}{T}$ と書き直すと、 $v$ が消えて $T$ と $r$ の関係だけが残る
比例定数は $\dfrac{4\pi^2}{GM}$ 。周期と半径から、中心の天体の質量が求まる

ケプラーの第3法則は、「 $T^2\propto r^3$ 」と暗記されがちです。この記事では、万有引力の法則と円運動の運動方程式から出発して導き、比例定数の意味まで確かめます。使う定数は、万有引力定数 $G=6.67\times10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$ です。円運動の運動方程式は力学的エネルギー保存則の導出の発展例題でも使っています。

ケプラーの第3法則は何を言っているか

ケプラーは惑星の観測データから、惑星ごとに「公転周期の2乗」と「軌道の大きさの3乗」の比が同じになることを見つけ、1619年の『世界の調和』で発表しました。その約70年後の1687年、ニュートンが『プリンキピア』で、万有引力の法則から同じ関係が出ることを示しました。

太陽系の惑星で、横軸を $r^3$ （単位 AU³）、縦軸を $T^2$ （単位年²）にとると、点は原点を通る傾き1の直線に乗ります。

惑星の点は、原点を通る直線の上に並ぶ（AU は地球の軌道半径、年は地球の公転周期）

ケプラーの第3法則の導出

軌道を円とします。中心の天体（質量 $M$ ）は動かないものとし、まわりを回る物体の質量を $m$ とします。

万有引力 F が中心を向いて、向心力のはたらきをする

1. 運動方程式を立てる

物体に働く力は中心向きの万有引力 $F=G\dfrac{Mm}{r^2}$ だけです。一方、半径 $r$ ・速さ $v$ の円運動の加速度は中心向きに $\dfrac{v^2}{r}$ です。運動方程式 $ma=F$ より

m\frac{v^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}

2. 質量 $m$ を消して $v^2$ を出す

両辺の $m$ を約分し、両辺に $r$ を掛けます。

v^2=\frac{GM}{r}

これは、物体の質量によらず、半径 $r$ で決まる速さです。

3. 速さを周期で書き直す

知りたいのは周期 $T$ なので、 $v$ を消します。1周は長さ $2\pi r$ を時間 $T$ で進むので $v=\dfrac{2\pi r}{T}$ です。これを2乗して代入します。

\begin{aligned} \left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2&=\frac{GM}{r}\\[4pt] \frac{4\pi^2r^2}{T^2}&=\frac{GM}{r} \end{aligned}

4. $T^2$ と $r^3$ の比にまとめる

分母を払うため、まず両辺に $r\,T^2$ を掛けます。

4\pi^2r^3=GM\,T^2

次に両辺を $GM\,r^3$ で割ります。

\frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM}

右辺は $G$ と中心の天体の質量 $M$ だけで決まる定数です。したがって $T^2\propto r^3$ で、比例定数は $\dfrac{4\pi^2}{GM}$ です。物体の質量 $m$ は式に残らないので、どの惑星でも同じ法則になります。

楕円軌道のときは

実際の惑星の軌道は楕円で、ケプラーの第3法則も「半長軸 $a$ の3乗と周期の2乗」で書かれます。円は半長軸が半径に等しい楕円なので、上の結果で $r$ を $a$ に置き換えた $\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$ が成り立ちます。楕円の場合の証明は、面積速度の保存などを使うため、この記事では結果だけ紹介します。

楕円軌道では、半径のかわりに半長軸 a を使う

使い方の例題

例題

地球は太陽のまわりを、半径 $1.50\times10^{11}\,\mathrm{m}$ の円軌道で、周期 $3.16\times10^{7}\,\mathrm{s}$ （1年）で回っているとみなす。太陽の質量を求めよ。 $G=6.67\times10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$ とする。

導いた式を $M$ について解き（逆向きに使い）ます。

\begin{aligned} M&=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}\\[4pt] &=\frac{4\pi^2\times\left(1.50\times10^{11}\right)^3}{6.67\times10^{-11}\times\left(3.16\times10^{7}\right)^2}\\[4pt] &\fallingdotseq\frac{1.33\times10^{35}}{6.66\times10^{4}}\fallingdotseq 2.0\times10^{30}\ \mathrm{kg} \end{aligned}

検算：地球の速さは $v=\dfrac{2\pi r}{T}\fallingdotseq3.0\times10^{4}\,\mathrm{m/s}$ 。手順2の式 $M=\dfrac{v^2r}{G}$ に入れても $2.0\times10^{30}\,\mathrm{kg}$ で一致します。単位は、 $\dfrac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{N\cdot m^2/kg^2\cdot s^2}}=\dfrac{\mathrm{kg^2\cdot m}}{\mathrm{N\cdot s^2}}=\mathrm{kg}$ （ $\mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}$ を使う）で質量になります。

ケプラーの第3法則の発展的な使い方

地上での重力加速度 $g$ と地球の半径 $R$ を使うと、 $G$ や地球の質量を知らなくても人工衛星の問題が解けます。地表の物体では、重力が万有引力に等しいので $mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$ 、つまり $GM=gR^2$ です。

発展例題

地球の自転と同じ周期 $8.64\times10^{4}\,\mathrm{s}$ （24時間）で赤道上空を円運動し、地上から見て静止して見える静止衛星の、地表からの高さを求めよ。地球の半径を $R=6.4\times10^{6}\,\mathrm{m}$ 、地表の重力加速度を $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$ とする。

1. $GM$ を $g$ と $R$ で置き換える

導いた式 $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$ の $GM$ に $gR^2$ を入れ、 $r^3$ について解きます。

r^3=\frac{gR^2T^2}{4\pi^2}

2. 数値を入れる

\begin{aligned} r^3&=\frac{9.8\times\left(6.4\times10^{6}\right)^2\times\left(8.64\times10^{4}\right)^2}{4\pi^2}\\[4pt] &\fallingdotseq7.59\times10^{22}\ \mathrm{m^3}\\[4pt] r&\fallingdotseq4.23\times10^{7}\ \mathrm{m} \end{aligned}

3. 地表からの高さにする

$r$ は地球の中心からの距離なので、半径 $R$ を引きます。

h=r-R=4.23\times10^{7}-0.64\times10^{7}\fallingdotseq3.6\times10^{7}\ \mathrm{m}

検算（別の方法）：地表すれすれの円軌道の周期は $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}\fallingdotseq5.08\times10^{3}\,\mathrm{s}$ です。 $T^2\propto r^3$ より $\dfrac{r}{R}=\left(\dfrac{T}{T_0}\right)^{2/3}\fallingdotseq6.62$ なので、 $r\fallingdotseq4.23\times10^{7}\,\mathrm{m}$ で一致します。

この問題では、ケプラーの第3法則の $GM$ を $gR^2$ に置き換え、周期から軌道半径を逆算しました。

注意

$r$ は中心からの距離で、地表からの高さではありません。「高さ」を問われたら、最後に地球の半径を引くのを忘れないでください。

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この記事のまとめ

万有引力が向心力になる： $m\dfrac{v^2}{r}=G\dfrac{Mm}{r^2}$ から $v^2=\dfrac{GM}{r}$ 。
$v=\dfrac{2\pi r}{T}$ を入れて整理すると $\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}$ 。質量 $m$ は消え、比例定数は中心の天体で決まる。
楕円軌道では $r$ を半長軸 $a$ に置き換える。周期と半径から中心天体の質量が、 $GM=gR^2$ と組み合わせると衛星の軌道が求まる。