角の二等分線の定理の証明：平行線と面積の2通りで導く

角の二等分線の定理は、数学Aの「図形の性質」で最初に学ぶ定理の1つです。この記事では、平行線を使う方法と面積の比を使う方法の2通りで証明します。

角の二等分線の定理は何を言っているか

角の二等分線は、角を半分に分ける線です。定理は、角の二等分線は、向かい合う辺を、角をはさむ2辺の長さの比に分ける と言っています。$\mathrm{AB}=6$、$\mathrm{AC}=4$ なら、BC は $6:4=3:2$ に分けられます。

角の二等分線の定理の証明（平行線）

1. 平行線を引く

C を通り AD に平行な直線を引き、BA の延長との交点を E とします。

2. 角が等しいことを示す

AD と EC が平行なので

• 同位角は等しいので $\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{AEC}$
• 錯角は等しいので $\angle\mathrm{DAC}=\angle\mathrm{ACE}$

AD は $\angle\mathrm{A}$ の二等分線なので $\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{DAC}$ です。よって $\angle\mathrm{AEC}=\angle\mathrm{ACE}$ です。

3. 二等辺三角形を見つける

△ACE は2つの角が等しいので二等辺三角形で、$\mathrm{AE}=\mathrm{AC}$ です。

4. 平行線と比を使う

△BEC で AD と EC は平行なので、平行線と線分の比の性質より

2行目は、手順3の $\mathrm{AE}=\mathrm{AC}$ を使いました。

面積で見る別の証明

$\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{DAC}=\theta$ とします。△ABD と △ACD の面積の比を、2通りに表します。

底辺 BD と DC で見る：2つの三角形は、A から BC に下ろした垂線を共通の高さにもつので

2辺とその間の角で見る：面積の公式 $\dfrac{1}{2}ab\sin\theta$ より

2行目は、共通の $\dfrac{1}{2}\,\mathrm{AD}\sin\theta$ で割りました。2つの式を比べると、$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$ が面積からも得られます 。

使い方の例題

角の二等分線の定理より $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=6:4=3:2$ なので

検算：座標で確かめます。$\mathrm{B}(0,\ 0)$、$\mathrm{C}(5,\ 0)$ とすると、$\mathrm{AB}=6$、$\mathrm{AC}=4$ より $\mathrm{A}\left(\dfrac{9}{2},\ \dfrac{3\sqrt{7}}{2}\right)$ です。$\mathrm{D}(3,\ 0)$ として $\angle\mathrm{BAD}$ と $\angle\mathrm{DAC}$ を計算すると、どちらも約 $27.9^\circ$ で等しくなります。

角の二等分線の定理の発展的な使い方

二等分線が辺を分ける長さが分かると、余弦定理を使って二等分線そのものの長さも求められます。

1. △ABC で $\cos\mathrm{B}$ を求める

2. △ABD で余弦定理を使う

例題より $\mathrm{BD}=3$ です。

$\mathrm{AD}>0$ なので $\mathrm{AD}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ です。

この問題では、角の二等分線の定理で BD を求め、同じ角 B を共有する △ABC と △ABD で余弦定理を2回使いました 。

検算（別の方法）：例題の検算の座標で、$\mathrm{A}\left(\dfrac{9}{2},\ \dfrac{3\sqrt{7}}{2}\right)$、$\mathrm{D}(3,\ 0)$ の距離は $\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{63}{4}}=\sqrt{\dfrac{72}{4}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ となり一致します。また、二等分線の長さについて知られている関係 $\mathrm{AD}^2=\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}-\mathrm{BD}\cdot\mathrm{DC}$ に入れても $24-6=18$ です。

三角形の辺の比の定理は、ほかにチェバの定理やメネラウスの定理でも紹介しています。