回転体の体積の公式 V=π∫y²dx の導出：断面の円を積み重ねる

回転体の体積は、数学IIIの積分の応用で必ず出てくる公式です。この記事では、断面積を積分すると体積になるという考え方から公式を導きます。

回転体の体積の公式は何を言っているか

曲線を $x$ 軸のまわりに回すと、$x$ 軸に垂直に切った断面はどこでも円になります。公式は、断面の円の面積 $\pi\{f(x)\}^2$ を、$x=a$ から $b$ まで積み重ねたものが体積 であることを表しています。

回転体の体積の公式の導出

1. 薄い板に分ける

立体を、$x$ 軸に垂直な平面で、厚さ $\Delta x$ の薄い板に切り分けます。位置 $x$ での断面積を $S(x)$ とすると、1枚の板の体積はおよそ $S(x)\,\Delta x$ です。

2. 足し合わせて積分にする

板の体積を $x=a$ から $b$ まで足し合わせ、$\Delta x$ を限りなく小さくすると、定積分になります。

3. 断面積を求める

回転体では、位置 $x$ の断面は、半径 $|f(x)|$ の円です。

4. 代入する

$f(x)$ が負の部分があっても、2乗するので半径の2乗として正しく計算できます。

使い方の例題

半径 $r$ の球は、半円 $y=\sqrt{r^2-x^2}$（$-r\le x\le r$）を $x$ 軸のまわりに回転した立体です。

2行目は、$r^2-x^2$ が偶関数（$y$ 軸について対称）であることを使いました。

検算：中学校で学ぶ球の体積の公式 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ と一致します。また、$r=1$ として断面の円板を1万枚に分けて体積を足し合わせる数値計算でも $4.18879\cdots$ となり、$\dfrac{4}{3}\pi=4.18879\cdots$ と一致します。

回転体の体積の公式の発展的な使い方

2つの曲線で囲まれた部分を回転させると、断面は円ではなく**ドーナツ形（円環）**になります。そのときの式の立て方を考えます。

1. 範囲と上下を確かめる

$x^2=x$ より $x=0,\ 1$。$0\le x\le 1$ では $x\ge x^2$ なので、直線が上、放物線が下です。

2. 断面積を求める

位置 $x$ の断面は、半径 $x$ の円から半径 $x^2$ の円を除いたドーナツ形です。

3. 積分する

この問題では、断面積を「外側の円 − 内側の円」として求め、公式の $\{f(x)\}^2$ を $x^2-(x^2)^2$ に置きかえました 。

検算（別の方法）：外側の立体（$y=x$ を回した円錐）の体積 $\pi\displaystyle\int_0^1x^2\,dx=\dfrac{\pi}{3}$ から、内側の立体（$y=x^2$ を回した立体）の体積 $\pi\displaystyle\int_0^1x^4\,dx=\dfrac{\pi}{5}$ を引いても $\dfrac{2}{15}\pi$ です。円錐の体積は $\dfrac{1}{3}\times\pi\cdot 1^2\times 1=\dfrac{\pi}{3}$ で、公式とも一致します。