2次方程式の解の公式の導出：平方完成で一行ずつ導く

数学1A2次関数公式の成立 更新
目次

2次方程式の解の公式

2次方程式 ax2+bx+c=0 (a≠0)ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0) の解は

x=−b±b2−4ac2a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

ただし、実数の解をもつのは b2−4ac≧0b^2-4ac\geqq 0 のとき。

この記事の要点

  • 解の公式は、ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 を平方完成して、平方根をとるだけで導ける
  • 先に両辺を 4a4a 倍すると、分数を使わずに導ける
  • 根号の中の b2−4acb^2-4ac（判別式）が、実数解の個数を決める

解の公式は長い式なので、丸暗記しようとすると符号や 2a2a の位置を間違えがちです。でも中身は「平方完成して平方根をとる」だけです。導き方を一度たどっておけば、忘れても自分で作り直せます。

解の公式は何を言っているか

因数分解できる方程式なら、x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 を (x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3)=0 として解けます。ところが x2−4x+1=0x^2-4x+1=0 は、整数の範囲では因数分解できません。

解の公式は、係数 a, b, ca,\ b,\ c を代入するだけで、どんな2次方程式でも解けるようにした式です。その中身は、次に説明する平方完成の手順を、文字のまま一度だけ行った結果です。

平方完成による導出

ax2+bx+c=0 (a≠0)ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0) から始めます。

1. 両辺を aa で割る（x2x^2 の係数を 11 にするため）

x2+bax+ca=0 x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

2. 定数の項を右辺に移す

x2+bax=−ca x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}

3. 両辺に (b2a)2\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 を足す（左辺を (  )2(\ \ )^2 の形にするため。xx の係数 ba\dfrac{b}{a} の半分の2乗）

x2+bax+(b2a)2=(b2a)2−ca x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}

4. 左辺をまとめ、右辺を通分する

(x+b2a)2=b2−4ac4a2 \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

右辺は b24a2−4ac4a2\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2} を1つにまとめました。

5. 平方根をとる（b2−4ac≧0b^2-4ac\geqq 0 のとき）

x+b2a=±b2−4ac2a x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

分母は 4a2=2∣a∣\sqrt{4a^2}=2|a| ですが、前に ±\pm がついているので、aa が負でも 2a2a と書いて同じことになります。

6. b2a\dfrac{b}{2a} を右辺に移す

x=−b±b2−4ac2a x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

これで解の公式が得られました。使ったのは平方完成と平方根だけ です。

図で見る平方完成と、分数を使わない導き方

手順3で足した (b2a)2\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 は、面積の図で見ると意味が分かります。x2+baxx^2+\dfrac{b}{a}x は、1辺 xx の正方形に、たて xx・横 b2a\dfrac{b}{2a} の長方形を2つ付けた L 字の面積です。右下の小さな正方形を足すと、ちょうど1辺 x+b2ax+\dfrac{b}{2a} の正方形になります。

平方完成は「足りない正方形を足して、大きな正方形を作る」こと

また、手順1で aa で割る代わりに、両辺を 4a4a 倍すると分数を使わずに導けます。

4a2x2+4abx+4ac=0(2ax+b)2−b2+4ac=0(2ax+b)2=b2−4ac2ax+b=±b2−4ac \begin{aligned} 4a^2x^2+4abx+4ac&=0\\[4pt] (2ax+b)^2-b^2+4ac&=0\\[4pt] (2ax+b)^2&=b^2-4ac\\[4pt] 2ax+b&=\pm\sqrt{b^2-4ac} \end{aligned}

2行目は (2ax+b)2=4a2x2+4abx+b2(2ax+b)^2=4a^2x^2+4abx+b^2 なので、余分な b2b^2 を引いて調整しています。最後に bb を移して 2a2a で割れば、同じ公式になります。

判別式と、b が偶数のときの公式

根号の中の D=b2−4acD=b^2-4ac を判別式といいます。手順5で平方根をとれるのは D≧0D\geqq 0 のときだけなので、DD の符号で実数解の個数が決まります。

D>0⇒異なる2つの実数解,D=0⇒重解,D<0⇒実数解なし D>0 \Rightarrow \text{異なる2つの実数解},\quad D=0 \Rightarrow \text{重解},\quad D<0 \Rightarrow \text{実数解なし}

また、b=2b′b=2b' と偶数で書けるときは、公式に b=2b′b=2b' を代入して分子・分母を 22 で割ると

x=−b′±b′2−aca x=\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}

となり、計算が楽になります。

例題

次の2次方程式を解け。

(1) 2x2+3x−1=02x^2+3x-1=0　　(2) x2−4x+1=0x^2-4x+1=0

(1) a=2, b=3, c=−1a=2,\ b=3,\ c=-1 を代入します。

x=−3±32−4⋅2⋅(−1)2⋅2=−3±174 x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 2\cdot(-1)}}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}

(2) b=−4=2⋅(−2)b=-4=2\cdot(-2) なので b′=−2b'=-2 の公式を使います。

x=2±(−2)2−1⋅11=2±3 x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-1\cdot 1}}{1}=2\pm\sqrt{3}

この記事のまとめ

  • 解の公式は、ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 を平方完成して平方根をとれば導ける
  • 4a4a 倍してから平方完成すると、分数を使わずに導ける
  • 判別式 D=b2−4acD=b^2-4ac の符号で実数解の個数が決まる。bb が偶数なら b′b' の公式が便利

3次方程式にも解の公式があり、その途中では虚数が欠かせなくなります。その話はコラム「3次方程式の解の公式と虚数」で紹介しています。

平方完成は、2次関数のグラフの頂点を求めるときにも使います。2次関数の最大・最小の場合分けもあわせて読むと、同じ考え方がつながって見えてきます。

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