加法定理の証明が問われた東大1999年：定義から導く解答と背景

数学2B三角関数入試の背景 更新
目次

入試問題

東京大学 1999年 第1問（問題文は要約）

(1) 一般角 θ\theta に対して、sin⁡θ\sin\theta、cos⁡θ\cos\theta の定義を述べよ。

(2) (1)で述べた定義にもとづいて、sin⁡\sin、cos⁡\cos の加法定理を証明せよ。

この記事の要点

  • この問題は「加法定理を証明せよ」ではなく、「定義を述べ、その定義から証明せよ」と、(1)と(2)のつながりを問うている
  • 定義は「単位円上の点の座標」。回転が線分を長さも向きも保つことから、cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) と sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) が一度に出る
  • 複素数や回転行列から入ると、加法定理を前提にしてしまう循環論法になりかねない

加法定理は、ほとんどの人が「覚えて使う」公式です。その証明を入試で直接問うた問題として、1999年の東京大学の問題が知られています。この記事では、定義から出発する解答を自作し、トレミーの定理を使う別の証明と、背景の歴史を紹介します。単位円上の2点の距離で導く教科書的な証明は、加法定理の証明（単位円と2点間の距離）で解説しているので、ここでは別の道を通ります。

東大1999年の加法定理の問題は何が面白いか

出題の形に注目してください。(2)には「(1)で述べた定義にもとづき」とあります。証明の出発点は、自分が(1)で書いた定義だけ です。

教科書は sin⁡\sin、cos⁡\cos を直角三角形の辺の比で定義してから、一般角へ拡張します。一般角では「単位円上の点の座標」で定義するのが標準です。どちらの定義を選んでも、それが妥当ならよいのですが、(2)では定義と無関係な道具を持ち込めません。

加法定理の証明：定義から導く解答

方針：定義を「単位円上の点の座標」にすると、α\alpha の点を β\beta だけ回すと α+β\alpha+\beta の点になります。回転が点の座標をどう変えるかを調べれば、加法定理が出ます。

(1) 定義

原点 O を中心とする半径 11 の円（単位円）の上で、点 (1, 0)(1,\ 0) から反時計回りに θ\theta だけ進んだ点を P(θ)\mathrm{P}(\theta) とします（θ\theta が負なら時計回り）。その座標を

P(θ)=(cos⁡θ, sin⁡θ) \mathrm{P}(\theta)=(\cos\theta,\ \sin\theta)

とおいて、これを cos⁡θ\cos\theta、sin⁡θ\sin\theta の定義とします。

(2) 証明

原点のまわりに β\beta だけ回転する変換を RR とします。定義から、RR は P(θ)\mathrm{P}(\theta) を P(θ+β)\mathrm{P}(\theta+\beta) に移します。

回転 R で e₁、e₂ がどこへ移るかを調べると、P(α) の行き先が決まる

手順1：基本ベクトルの行き先

e1=(1, 0)=P(0)e_1=(1,\ 0)=\mathrm{P}(0) は RR で P(β)\mathrm{P}(\beta) に移ります。これを e1′e_1' とすると

e1′=(cos⁡β, sin⁡β) e_1'=(\cos\beta,\ \sin\beta)

e2=(0, 1)e_2=(0,\ 1) は e1e_1 を反時計回りに 90∘90^\circ 回した点です。回転は角度を変えないので、e2′=R(e2)e_2'=R(e_2) は e1′e_1' を反時計回りに 90∘90^\circ 回した点です。点 (x, y)(x,\ y) を原点のまわりに 90∘90^\circ 回すと (−y, x)(-y,\ x) になる（直角三角形を回して座標を読み取る）ので

e2′=(−sin⁡β, cos⁡β) e_2'=(-\sin\beta,\ \cos\beta)

手順2：一般の点の行き先

点 (x, y)(x,\ y) は、O、(x, 0)(x,\ 0)、(0, y)(0,\ y) を頂点にもつ長方形の頂点です。回転は図形を合同に移すので、この長方形は、x e1′x\,e_1' と y e2′y\,e_2' を隣り合う2辺とする長方形に移ります。したがって

R(x, y)=x e1′+y e2′ R(x,\ y)=x\,e_1'+y\,e_2'

手順3：P(α)\mathrm{P}(\alpha) に当てはめる

P(α)=(cos⁡α, sin⁡α)\mathrm{P}(\alpha)=(\cos\alpha,\ \sin\alpha) なので、手順2から

P(α+β)=cos⁡α e1′+sin⁡α e2′=cos⁡α (cos⁡β, sin⁡β)+sin⁡α (−sin⁡β, cos⁡β) \begin{aligned} \mathrm{P}(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\,e_1'+\sin\alpha\,e_2'\\[4pt] &=\cos\alpha\,(\cos\beta,\ \sin\beta)+\sin\alpha\,(-\sin\beta,\ \cos\beta) \end{aligned}

一方、定義から P(α+β)=(cos⁡(α+β), sin⁡(α+β))\mathrm{P}(\alpha+\beta)=(\cos(\alpha+\beta),\ \sin(\alpha+\beta)) です。成分を比べると

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βsin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \begin{aligned} \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[4pt] \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \end{aligned}

が得られます。α, β\alpha,\ \beta がどんな一般角でも、cos⁡\cos と sin⁡\sin の加法定理が1回で出ます 。

手順4：差の形

P(−β)\mathrm{P}(-\beta) は P(β)\mathrm{P}(\beta) と xx 軸について対称な点なので、cos⁡(−β)=cos⁡β\cos(-\beta)=\cos\beta、sin⁡(−β)=−sin⁡β\sin(-\beta)=-\sin\beta です。手順3の β\beta を −β-\beta に置きかえると

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βsin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β \begin{aligned} \cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\[4pt] \sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \end{aligned}

4本そろいました。この解答で使ったのは、定義、回転が図形を合同に移すこと、直角三角形の回転だけで、加法定理は一度も使っていません。

背景にある数学・歴史：トレミーの定理による別の証明

加法定理の源流は、2世紀ごろのプトレマイオスの『アルマゲスト』にさかのぼります。この本では、円に内接する四角形ABCDについて

AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅AD \mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}=\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{AD}

が成り立つというトレミーの定理（プトレマイオスの定理）が、加法定理に相当する内容を示す準備として証明されています。プトレマイオスはこれを使い、弦の長さの表を作りました。同じ道をたどって sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) を導いてみます。

直径を1とする円で、弦の長さは円周角の $\sin$ になる

直径 AC=1\mathrm{AC}=1 の円をとり、∠BAC=α\angle\mathrm{BAC}=\alpha、∠CAD=β\angle\mathrm{CAD}=\beta（B と D は AC の反対側）とします。

  • AC が直径なので、∠ABC=∠ADC=90∘\angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{ADC}=90^\circ です。よって AB=cos⁡α\mathrm{AB}=\cos\alpha、BC=sin⁡α\mathrm{BC}=\sin\alpha、AD=cos⁡β\mathrm{AD}=\cos\beta、CD=sin⁡β\mathrm{CD}=\sin\beta
  • 直径 11 の円では、弦の長さは円周角の sin⁡\sin に等しい（正弦定理）ので、円周角 ∠BAD=α+β\angle\mathrm{BAD}=\alpha+\beta に対する弦は BD=sin⁡(α+β)\mathrm{BD}=\sin(\alpha+\beta)

トレミーの定理に代入すると

1⋅sin⁡(α+β)=cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡β 1\cdot\sin(\alpha+\beta)=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta

となります（α, β\alpha,\ \beta が鋭角、つまり 0∘<α, β<90∘0^\circ<\alpha,\ \beta<90^\circ のとき）。一般角まで保証するには足りませんが、古代から使われた道具で加法定理が出ることが分かります。

この問題から学べること

注意

複素数の積 (cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta) や回転行列から加法定理を「導く」解答は、危険です。複素数平面での積が角の和に対応することも、回転行列の成分も、加法定理から導かれる事実です。これらを前提にすると、(1)の定義から出発したことにならず、循環論法になるおそれがあります。この記事の解答では、回転行列に当たる e1′e_1'、e2′e_2' を、定義と図形の性質から作りました。

この問題が問うているのは、公式を暗記しているかではなく、公式がどの定義から出るかを説明できるかです。入試で証明が問われる意味は次の2点です。

  • 公式の「前提」を意識する：何を定義として認め、何を証明するのか
  • 別の証明を持つ：距離で導く証明、回転で導く証明、トレミーの定理で導く証明は、いずれも定義から公式への道筋が違う

複素数との関係はオイラーの公式の記事、加法定理を使う別の入試問題はtan1°は有理数か（京大2006年）の記事で扱っています。

この記事のまとめ

  • 東大1999年の問題は、一般角の定義を述べ、その定義にもとづいて加法定理を証明させる形式だった。
  • 単位円上の点の座標で定義すると、回転が e1e_1、e2e_2 をどこへ移すかを調べるだけで、cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) と sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) が同時に導ける。
  • 複素数や回転行列は加法定理を前提にしやすい。トレミーの定理は、プトレマイオスの時代から加法定理につながる別の道具。

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