加法定理の証明：単位円と2点間の距離で導く方法

数学2B三角関数公式の成立 更新
目次

三角関数の加法定理

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βsin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡βcos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β \begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[4pt] \sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[4pt] \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[4pt] \cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{aligned}

この記事の要点

  • 単位円上の2点の距離を「座標」と「回転」の2通りで計算すると、cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) の公式が出る
  • 残りの3つは、β\beta を −β-\beta に、α\alpha を 90∘−α90^\circ-\alpha に置きかえるだけで導ける
  • 2倍角の公式も tan⁡\tan の加法定理も、すべて加法定理から作れる

加法定理は4本もあり、符号の入れかわりで混乱しやすい公式です。けれども、1本だけ証明すれば、残りは置きかえで作れます。この記事では、まず cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) を単位円で証明し、そこから残りの公式を順に導きます。

加法定理は何を言っているか

sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) は sin⁡α+sin⁡β\sin\alpha+\sin\beta ではありません。たとえば α=β=30∘\alpha=\beta=30^\circ とすると

sin⁡(30∘+30∘)=sin⁡60∘=32,sin⁡30∘+sin⁡30∘=1 \sin(30^\circ+30^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ+\sin 30^\circ=1

で、値が違います。加法定理は、角の和や差の三角関数を、もとの角の sin⁡\sin と cos⁡\cos で表すための公式です。

加法定理の証明：2点間の距離を2通りに計算する

単位円（原点 O が中心、半径 11 の円）の上に、2点

P(cos⁡α, sin⁡α),Q(cos⁡β, sin⁡β) \mathrm{P}(\cos\alpha,\ \sin\alpha),\qquad \mathrm{Q}(\cos\beta,\ \sin\beta)

をとります。この2点の距離 PQ を、2つの方法で計算します。

原点のまわりに回転しても、2点間の距離は変わらない

方法1：座標のまま計算する

2点間の距離の公式から

PQ2=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β) \begin{aligned} \mathrm{PQ}^2&=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\[4pt] &=(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta+\sin^2\beta)-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\[4pt] &=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \end{aligned}

2行目は展開して並べかえ、3行目は sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 を2回使いました。

方法2：回転してから計算する

2点を、原点のまわりに −β-\beta だけ回転します。Q は (1, 0)(1,\ 0) に、P は角 α−β\alpha-\beta の点 P′(cos⁡(α−β), sin⁡(α−β))\mathrm{P'}(\cos(\alpha-\beta),\ \sin(\alpha-\beta)) に移ります。回転しても2点間の距離は変わらない ので

PQ2=P′Q′2={cos⁡(α−β)−1}2+sin⁡2(α−β)=cos⁡2(α−β)+sin⁡2(α−β)−2cos⁡(α−β)+1=2−2cos⁡(α−β) \begin{aligned} \mathrm{PQ}^2=\mathrm{P'Q'}^2&=\{\cos(\alpha-\beta)-1\}^2+\sin^2(\alpha-\beta)\\[4pt] &=\cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)-2\cos(\alpha-\beta)+1\\[4pt] &=2-2\cos(\alpha-\beta) \end{aligned}

2つの結果を比べる

同じ PQ2\mathrm{PQ}^2 なので、

2−2cos⁡(α−β)=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β) 2-2\cos(\alpha-\beta)=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)

両辺から 22 を引いて −2-2 で割ると、

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

が得られます。座標と回転だけを使ったので、α, β\alpha,\ \beta がどんな角でも成り立ちます 。

残りの3つの公式を導く

cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta)：β\beta を −β-\beta に置きかえる

cos⁡(−β)=cos⁡β\cos(-\beta)=\cos\beta、sin⁡(−β)=−sin⁡β\sin(-\beta)=-\sin\beta を使います。

cos⁡(α+β)=cos⁡{α−(−β)}=cos⁡αcos⁡(−β)+sin⁡αsin⁡(−β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β \begin{aligned} \cos(\alpha+\beta)&=\cos\{\alpha-(-\beta)\}\\[4pt] &=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)\\[4pt] &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{aligned}

sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta)：sin⁡θ=cos⁡(90∘−θ)\sin\theta=\cos(90^\circ-\theta) を使う

θ=α+β\theta=\alpha+\beta とすると 90∘−θ=(90∘−α)−β90^\circ-\theta=(90^\circ-\alpha)-\beta なので、cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) の公式が使えます。

sin⁡(α+β)=cos⁡{(90∘−α)−β}=cos⁡(90∘−α)cos⁡β+sin⁡(90∘−α)sin⁡β=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β \begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)&=\cos\{(90^\circ-\alpha)-\beta\}\\[4pt] &=\cos(90^\circ-\alpha)\cos\beta+\sin(90^\circ-\alpha)\sin\beta\\[4pt] &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \end{aligned}

3行目では cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha、sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha を使いました。

sin⁡(α−β)\sin(\alpha-\beta)：もう一度 β\beta を −β-\beta に置きかえる

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡(−β)+cos⁡αsin⁡(−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

これで4本がそろいました。

加法定理から広がる公式

tan⁡\tan の加法定理：tan⁡(α+β)=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} の分母・分子を cos⁡αcos⁡β\cos\alpha\cos\beta で割ると、

tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}

（cos⁡α\cos\alpha、cos⁡β\cos\beta、cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) が 00 でないとき）。tan⁡\tan の加法定理は、tan1°は有理数か（京大2006年）の入試問題でも主役になります。

2倍角の公式：β=α\beta=\alpha とおくと

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α \begin{aligned} \sin 2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha\\[4pt] \cos 2\alpha&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \end{aligned}

例題

sin⁡75∘\sin 75^\circ と cos⁡75∘\cos 75^\circ の値を求めよ。

75∘=45∘+30∘75^\circ=45^\circ+30^\circ と分けて、加法定理を使います。

sin⁡75∘=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12=6+24 \begin{aligned} \sin 75^\circ&=\sin 45^\circ\cos 30^\circ+\cos 45^\circ\sin 30^\circ\\[4pt] &=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{aligned} cos⁡75∘=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32−22⋅12=6−24 \begin{aligned} \cos 75^\circ&=\cos 45^\circ\cos 30^\circ-\sin 45^\circ\sin 30^\circ\\[4pt] &=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{aligned}

検算として sin⁡275∘+cos⁡275∘\sin^2 75^\circ+\cos^2 75^\circ を計算すると、(8+212)+(8−212)16=1\dfrac{(8+2\sqrt{12})+(8-2\sqrt{12})}{16}=1 となり、正しいことが確かめられます。

注意

cos⁡\cos の加法定理は、符号が角の符号と逆になります（cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) は「−-」、cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) は「++」）。迷ったら cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) に β=α\beta=\alpha を代入し、cos⁡2α+sin⁡2α=cos⁡0=1\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=\cos 0=1 となるかで確かめましょう。

この記事のまとめ

  • 単位円上の2点の距離を、座標と回転の2通りで計算すると cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta) の公式が出る。
  • β→−β\beta\to-\beta、sin⁡θ=cos⁡(90∘−θ)\sin\theta=\cos(90^\circ-\theta) の置きかえで、残りの3本が導ける。
  • tan⁡\tan の加法定理と2倍角の公式は、加法定理から作れる。

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