受験数学ノート

tan1°は有理数か（京大2006年）：背理法と加法定理で解く

Tue, 03 Nov 2026 01:34:00 +0900

入試問題（2006年度京都大学後期理系第6問）

$\tan 1^\circ$ は有理数か。

この記事の要点

答えは「有理数ではない」。有理数だと仮定して矛盾を導く（背理法）
加法定理を使うと、 $\tan 1^\circ$ から $\tan 2^\circ,\ \tan 3^\circ,\ \cdots$ が四則演算だけで作れる
有理数どうしの四則演算は有理数なので、 $\tan 60^\circ=\sqrt{3}$ まで有理数になってしまい矛盾する

円周率が3.05より大きいことの証明（東大2003年）と並んで、問題文が1行しかない入試問題として知られています。何を示せばよいかから自分で決める必要があり、数学IIの加法定理と、数学Iの「有理数・無理数」の知識がつながる問題です。

3次方程式の解の公式と虚数：解の公式の先にある大学数学

Tue, 03 Nov 2026 01:33:00 +0900

高校の問題

3次方程式 $x^3-15x-4=0$ を解け。

この記事の要点

高校では因数定理で解ける。答えはすべて実数（ $4,\ -2\pm\sqrt{3}$ ）
ところが「3次方程式の解の公式」で解くと、途中で $\sqrt{-121}$ が現れ、虚数を通らないと実数の答えにたどり着けない
さらに5次以上の方程式には、一般の解の公式が存在しない。これを説明するのが大学で学ぶガロア理論

まずは高校の方法で解く

$x=4$ を代入すると $64-60-4=0$ なので、因数定理より $x-4$ を因数にもちます。割り算をすると

円周率が3.05より大きいことの証明（東大2003年）とアルキメデスの方法

Tue, 03 Nov 2026 01:12:00 +0900

入試問題（2003年度東京大学前期理科第6問）

円周率が $3.05$ より大きいことを証明せよ。

この記事の要点

円に内接する正多角形の周は、円周より短い。これを使うと円周率を下からおさえられる
正六角形では「 $\pi>3$ 」しか言えないので、正八角形を使い、1辺を余弦定理で求める
この方法は、古代ギリシャのアルキメデスが円周率の範囲を求めた方法そのもの

問題文はたった1行ですが、「円周率とは何か」という定義から考えないと手が出ない問題です。この記事では、数学Iの余弦定理だけで解く方法と、その背景にある2000年以上前の考え方を紹介します。

この問題の何が面白いか

円周率 $\pi$ は「円周の長さ ÷ 直径」で定義される数です。 $3.14\cdots$ という値は知っていても、それを使わずに $\pi>3.05$ を示さなければなりません。

手がかりは、円に内接する多角形の周の長さは、円周より短いことです。2点を結ぶ線の中で、まっすぐな線分がいちばん短いからです。

半径 $1$ の円（円周 $2\pi$ ）に内接する正六角形は、1辺が $1$ の正三角形を6つ並べた形なので、周の長さは $6$ です。

2次方程式の解の公式の導出：平方完成で一行ずつ導く

Tue, 03 Nov 2026 01:10:00 +0900

2次方程式の解の公式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0\ (a\neq 0)$ の解は

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

ただし、実数の解をもつのは $b^2-4ac\geqq 0$ のとき。

微分は速度、2回微分は加速度：物理の運動を数学で読む

Tue, 03 Nov 2026 00:49:00 +0900

位置・速度・加速度の関係

時刻 $t$ での位置を $x(t)$ とすると、

v(t)=\frac{dx}{dt},\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}

速度は位置の微分、加速度は速度の微分（位置の2回微分）である。

この記事の要点

平均の速度は x-t グラフの割線の傾き、瞬間の速度は接線の傾き（＝微分係数）
自由落下 $x=\dfrac{g}{2}t^2$ を微分すると $v=gt$ 、もう一度微分すると $a=g$
物理基礎の等加速度直線運動の公式は、どれも微分から導ける

LumiStudy（ルミスタディ）とは？勉強時間を記録して相棒を育てる無料の学習記録アプリ

Tue, 03 Nov 2026 00:10:00 +0900

LumiStudy（ルミスタディ）は、受験数学ノートの運営者が開発している、中学生・高校生・大学受験生のための無料の学習記録アプリ（iPhone）です。勉強した時間が XP（経験値）として貯まり、相棒キャラクターが成長していきます。

この記事の要点

科目・教材・時間を選んで、毎日の勉強を記録できる
25分・50分の集中タイマーで、終わると時間と XP が自動で記録される
今日・今週・今月の学習時間や、科目ごとの割合をグラフで確認できる

LumiStudy でできること

かんたんな学習記録と集中タイマー

勉強した科目・教材・時間を選ぶだけで記録できます。時間はタイマーで測るほか、数字で直接入力することもできます。

25分・50分の集中タイマーを使うと、タイマーが終わったときに学習時間と XP が自動で記録されます。

相棒キャラクターの成長

勉強時間に応じて XP がたまり、相棒キャラクターが全12段階に成長します。相棒は累計3,000時間を目標に育っていくので、長い受験勉強の積み重ねが目に見える形で残ります。

学習時間の見える化と目標

今日・今週・今月の学習時間を集計し、科目別の学習状況も確認できます。1日の学習目標を決めて達成状況を確認したり、連続学習日数を伸ばしたりして、勉強を毎日の習慣にできます。学習時間や継続日数に応じた実績バッジもあります。

友達とのタイムラインと教材棚

相互フォローした友達の学習記録をタイムラインで見て、「いいね」で応援し合えます。使っている参考書や問題集を教材棚に登録して、学習記録と結び付けることもできます。

数学の勉強での使い方の例

数学は、ほかの科目より「1問に時間がかかる」「やった量が見えにくい」科目です。LumiStudy で記録をつけると、次のようなことが確かめやすくなります。

教材ごとの時間：たとえば『チャート式』と『基礎問題精講』のどちらにどれだけ時間を使ったかを、教材棚と記録から振り返る
科目のバランス：数学に時間をかけすぎて、英語や理科が手薄になっていないかを科目別の集計で確認する
集中する時間の区切り：公式の導出を自分で書き直す練習など、集中が必要な勉強を25分のタイマーで区切る

当サイトの数学の参考書コーナーで選んだ教材を、教材棚に登録して使うこともできます。

ダウンロード

LumiStudy は App Store から無料でダウンロードできます（iPhone 用）。

LumiStudy

勉強時間が XP に。相棒と続ける学習記録アプリ

勉強した時間を記録すると相棒キャラクターが成長。集中タイマー・連続学習日数・科目別の集計で、毎日の勉強を習慣にできます。

App Storeで見る（無料）詳しい紹介

受験まとめとは？受験・就活の話題を読んで志望校を比べられる無料アプリ

Tue, 03 Nov 2026 00:10:00 +0900

受験まとめ（受験情報まとめ）は、受験数学ノートの運営者が開発している無料の iPhone アプリです。中学受験・高校受験・大学受験・就職活動の話題をまとめ記事で読み、気になる学校・塾・企業ごとに比較ノートを作れます。

この記事の要点

大学受験・高校受験・中学受験・就活の話題を、まとめ記事で読める
気になる学校・塾ごとに比較ノートを作り、最大3件を並べて比べられる
「出願締切を確認」などの確認事項を、期限つきで管理できる

受験まとめでできること

4つのジャンルとテーマで記事を探す

ホームで中学受験・高校受験・大学受験・就職活動の4つから選び、学校・塾・予備校・講師・模試などの話題を、キーワード・テーマ・新着・人気から探せます。

記事は、掲示板の話題をまとめた記事や、掲載元で編集された記事です。文字サイズの変更、ブックマーク、既読表示、続きからの再開に対応していて、取得済みの記事はオフラインでも読めます。

学校・塾ごとの比較ノート

気になる候補ごとに情報を記録できます。受験なら入試方式・学費・通学・出願日程などを整理でき、同じジャンルの候補を最大3件並べて比較できます。記事の画面から「比較ノートに追加」を選ぶと、その記事と自分の感想・疑問点を一緒に残せます。

次に確認することを残す

「募集要項で締切を確認」「説明会の日程を調べる」など、候補ごとに確認事項を追加して、期限と完了状態を管理できます。公式ページの URL や、自分で公式情報を確認した日も記録できます。

大学受験での使い方の例

志望校の比較：第一志望と併願校を比較ノートに登録し、入試方式・学費・通学時間を並べて見る
出願の管理：共通テスト利用・一般選抜それぞれの出願締切を確認事項に入れ、完了したらチェックする
予備校・模試の情報収集：予備校や模試に関する話題を読み、気になった点を比較ノートにメモする

使うときの注意

記事の投稿内容は個人の意見です。入試制度・学費・日程などは、必ず各大学や大学入試センターの公式情報で確認してください。比較ノートは自分で入力するもので、合否の予測や情報の正確さを自動で判定する機能ではありません。

ダウンロード

受験まとめは App Store から無料でダウンロードできます（iPhone 用）。

受験まとめ

受験の話題を読んで、志望校の比較ノートに

大学受験・高校受験・中学受験・就活の話題をまとめ記事で読めるアプリ。学校ごとに比較ノートを作り、出願締切などの確認事項も記録できます。

App Storeで見る（無料）詳しい紹介

2次関数の最大・最小の場合分け：軸と定義域の位置関係で考える

Mon, 02 Nov 2026 21:00:00 +0900

2次関数の最大・最小の原則（下に凸のとき）

$f(x)=a(x-p)^2+q\ (a>0)$ の値は、 $x$ が軸 $x=p$ から離れるほど大きくなる。したがって、定義域 $\alpha\le x\le\beta$ では

最小値：軸が定義域に入っていれば頂点 $x=p$ 、入っていなければ軸に近いほうの端
最大値：軸から遠いほうの端（定義域の真ん中 $\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ と軸を比べて決める）

この記事の要点

下に凸の2次関数の最小値は、軸が定義域の「左・中・右」のどこにあるかで3通りに分ける。
最大値は、軸が定義域の「真ん中」より左か右かで分ける（軸から遠い端で最大）。
答えが出たら、場合分けの境目で値がつながっているかを確かめる。

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例題は入試の傾向をもとに編集部が作ります。過去の入試問題を扱うときは、大学名・年度・問題番号を明記し、引用の範囲にとどめます。
答えと途中式は、公開前に別の方法でも計算して確かめます（検算）。
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