1/6公式はなぜ成り立つ：積分を因数分解の形のまま計算する

数学2B積分法公式の成立 更新
目次

1/6公式

∫αβ(x−α)(x−β) dx=−16(β−α)3 \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3

この記事の要点

  • x−β=(x−α)−(β−α)x-\beta=(x-\alpha)-(\beta-\alpha) と書きかえると、被積分関数が (x−α)(x-\alpha) のかたまりだけで表せる
  • (x−α)n(x-\alpha)^n はそのまま積分でき、下端 x=αx=\alpha を代入すると 00 になるので計算が軽い
  • 放物線と直線（または2つの放物線）で囲まれた面積は、交点の xx 座標の差だけで求まる

放物線と直線で囲まれた部分の面積は、定積分で求めます。ところが交点の座標に  \sqrt{\ } が入ると、展開して計算するのは大変です。そこで使われるのが1/6公式です。この記事では、この公式がなぜ成り立つのかを、展開せずに導く方法で確かめます。

1/6公式は何を言っているか

(x−α)(x−β)(x-\alpha)(x-\beta) は、x=αx=\alpha と x=βx=\beta で 00 になる2次式です（α<β\alpha<\beta とします）。そのグラフは下に凸の放物線で、α<x<β\alpha<x<\beta では x 軸より下にあります。

1/6公式は、この区間での定積分が、区間の幅 β−α\beta-\alpha だけで決まることを言っています。値が負なのは、グラフが x 軸より下にあるからです。

1/6公式の導出

1. x−βx-\beta を (x−α)(x-\alpha) で表す

x−β=(x−α)−(β−α) x-\beta=(x-\alpha)-(\beta-\alpha)

右辺を計算すると x−α−β+α=x−βx-\alpha-\beta+\alpha=x-\beta なので、正しい書きかえです。

2. 被積分関数を (x−α)(x-\alpha) のかたまりで表す

(x−α)(x−β)=(x−α){(x−α)−(β−α)}=(x−α)2−(β−α)(x−α) \begin{aligned} (x-\alpha)(x-\beta)&=(x-\alpha)\{(x-\alpha)-(\beta-\alpha)\}\\[4pt] &=(x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha) \end{aligned}

3. かたまりのまま積分する

(x−α)n(x-\alpha)^n を xx で微分すると n(x−α)n−1n(x-\alpha)^{n-1} になるので、(x−α)n(x-\alpha)^n の不定積分は 1n+1(x−α)n+1\dfrac{1}{n+1}(x-\alpha)^{n+1} です。これを使うと

∫αβ(x−α)(x−β) dx=[13(x−α)3−β−α2(x−α)2]αβ \begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx &=\left[\frac{1}{3}(x-\alpha)^3-\frac{\beta-\alpha}{2}(x-\alpha)^2\right]_{\alpha}^{\beta} \end{aligned}

4. 上端と下端を代入する

下端 x=αx=\alpha を代入すると、(x−α)(x-\alpha) が 00 になるので式全体が 00 です。かたまりのまま積分したおかげで、下端の計算がまるごと消えます 。上端 x=βx=\beta だけを計算すればよく、

=13(β−α)3−12(β−α)3=(13−12)(β−α)3=−16(β−α)3 \begin{aligned} &=\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-\frac{1}{2}(\beta-\alpha)^3\\[4pt] &=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)(\beta-\alpha)^3\\[4pt] &=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \end{aligned}

これで1/6公式が導けました。

面積への使い方

放物線 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c と直線 y=mx+ny=mx+n が x=α, βx=\alpha,\ \beta（α<β\alpha<\beta）で交わるとき、2つの式の差は

(ax2+bx+c)−(mx+n)=a(x−α)(x−β) (ax^2+bx+c)-(mx+n)=a(x-\alpha)(x-\beta)

と因数分解できます（差が 00 になるのは x=α, βx=\alpha,\ \beta だから）。したがって、囲まれた部分の面積は

S=∣ a∫αβ(x−α)(x−β) dx ∣=∣a∣6(β−α)3 S=\left|\,a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\,\right|=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3

となり、x2x^2 の係数と、交点の xx 座標の差だけで面積が求まります 。2つの放物線で囲まれた部分でも、差の x2x^2 の係数を aa とすれば同じように使えます。

例題

放物線 y=x2y=x^2 と直線 y=x+2y=x+2 で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

交点の x 座標は −1 と 2。囲まれた部分の面積は 9/2

交点の xx 座標は、x2=x+2x^2=x+2 すなわち x2−x−2=(x+1)(x−2)=0x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0 より x=−1, 2x=-1,\ 2 です。−1<x<2-1<x<2 では直線が放物線より上にあるので

S=∫−12{(x+2)−x2} dx=−∫−12(x+1)(x−2) dx=−(−16){2−(−1)}3=276=92 \begin{aligned} S&=\int_{-1}^{2}\{(x+2)-x^2\}\,dx\\[4pt] &=-\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx\\[4pt] &=-\left(-\frac{1}{6}\right)\{2-(-1)\}^3\\[4pt] &=\frac{27}{6}=\frac{9}{2} \end{aligned}

2行目は (x+2)−x2=−(x2−x−2)=−(x+1)(x−2)(x+2)-x^2=-(x^2-x-2)=-(x+1)(x-2) と変形し、3行目で1/6公式を使いました。

検算：展開したまま計算すると

[x22+2x−x33]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=103+76=92 \left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}=\left(2+4-\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{9}{2}

となり、一致します。

注意

1/6公式が使えるのは、被積分関数が (x−α)(x−β)(x-\alpha)(x-\beta) の形で、積分区間がちょうど α\alpha から β\beta までのときです。区間がずれているときや、x2x^2 の係数が 11 でないときに係数 aa を掛け忘れるのはよくある間違いです。

この記事のまとめ

  • x−β=(x−α)−(β−α)x-\beta=(x-\alpha)-(\beta-\alpha) と書きかえ、(x−α)(x-\alpha) のかたまりのまま積分する。
  • 下端 x=αx=\alpha の代入が 00 になるので、13−12=−16\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6} だけが残る。
  • 放物線と直線で囲まれた面積は ∣a∣6(β−α)3\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3。

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