方べきの定理の証明：相似な三角形で3つの場合を導く

数学1A図形の性質公式の成立 更新
目次

方べきの定理

点 P を通る2本の直線が、円とそれぞれ2点 A, B と C, D で交わるとき

PA⋅PB=PC⋅PD \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}

また、P が円の外部にあり、P から引いた接線の接点を T とすると PT2=PA⋅PB\mathrm{PT}^2=\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB} である。

この記事の要点

  • 円周角の定理（または円に内接する四角形の性質）で、相似な三角形を1組作る
  • 相似な三角形の辺の比 PA:PD=PC:PB\mathrm{PA}:\mathrm{PD}=\mathrm{PC}:\mathrm{PB} を、たすきがけで積の式に直す
  • 接線の場合は、接線と弦のつくる角の定理で相似を作ると PT2=PA⋅PB\mathrm{PT}^2=\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB} になる

方べきの定理は、円と直線が交わってできる線分の長さの関係です。数学Aの「図形の性質」で学びます。この記事では、点 P の位置で3つの場合に分け、どれも相似な三角形から証明します。

方べきの定理は何を言っているか

点 P を通る直線を円に当てて、P から2つの交点までの長さをかけると、直線の向きをどう変えても、積の値は同じ になる、という定理です。この一定の値を、点 P の円に対する方べきといいます。

点線で結ぶと、相似な三角形 △PAC と △PDB ができる

方べきの定理の証明

1. P が円の内部にあるとき

弦 AB と弦 CD が点 P で交わるとします。△PAC と △PDB で

  • 対頂角は等しいので ∠APC=∠DPB\angle\mathrm{APC}=\angle\mathrm{DPB}
  • 弧 BC に対する円周角は等しいので ∠PAC=∠PDB\angle\mathrm{PAC}=\angle\mathrm{PDB}

2組の角がそれぞれ等しいので、△PAC∽△PDB\triangle\mathrm{PAC}\backsim\triangle\mathrm{PDB} です。対応する辺の比は等しいので

PA:PD=PC:PBPA⋅PB=PC⋅PD \begin{aligned} \mathrm{PA}:\mathrm{PD}&=\mathrm{PC}:\mathrm{PB}\\[4pt] \mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}&=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD} \end{aligned}

2行目は、比の外側の項の積と内側の項の積が等しいこと（a:b=c:da:b=c:d なら ad=bcad=bc）を使いました。

2. P が円の外部にあるとき

P から引いた2本の直線が、円と A, B（PA<PB\mathrm{PA}<\mathrm{PB}）と C, D（PC<PD\mathrm{PC}<\mathrm{PD}）で交わるとします。△PAC と △PDB で

  • ∠P\angle\mathrm{P} は共通
  • 四角形 ABDC は円に内接するので、∠PAC=180∘−∠BAC=∠BDC=∠PDB\angle\mathrm{PAC}=180^\circ-\angle\mathrm{BAC}=\angle\mathrm{BDC}=\angle\mathrm{PDB}

2つ目は、内接四角形の向かい合う角の和が 180∘180^\circ であることを使いました。よって △PAC∽△PDB\triangle\mathrm{PAC}\backsim\triangle\mathrm{PDB} となり、手順1と同じように PA⋅PB=PC⋅PD\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD} が得られます。

3. 接線のとき

P から引いた接線の接点を T とし、P を通る直線が円と A, B（PA<PB\mathrm{PA}<\mathrm{PB}）で交わるとします。△PTA と △PBT で

  • ∠P\angle\mathrm{P} は共通
  • 接線と弦のつくる角の定理より ∠PTA=∠TBA=∠PBT\angle\mathrm{PTA}=\angle\mathrm{TBA}=\angle\mathrm{PBT}

よって △PTA∽△PBT\triangle\mathrm{PTA}\backsim\triangle\mathrm{PBT} です。

PT:PB=PA:PTPT2=PA⋅PB \begin{aligned} \mathrm{PT}:\mathrm{PB}&=\mathrm{PA}:\mathrm{PT}\\[4pt] \mathrm{PT}^2&=\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB} \end{aligned}

3つの場合とも、相似な三角形の比を積に直すという同じ流れで証明できます 。

使い方の例題

例題

円の2本の弦 AB と CD が点 P で交わっている。PA=3\mathrm{PA}=3、PB=4\mathrm{PB}=4、PC=2\mathrm{PC}=2 のとき、PD\mathrm{PD} の長さを求めよ。

方べきの定理より

3⋅4=2⋅PDPD=6 \begin{aligned} 3\cdot 4&=2\cdot\mathrm{PD}\\[4pt] \mathrm{PD}&=6 \end{aligned}

検算：記事の最初の図（左）は、半径 44 の円で中心から 22 の位置に P をとり、この長さになるように座標を計算して描いています。P を通る弦では、どの向きでも PA⋅PB=42−22=12\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=4^2-2^2=12 になり、3⋅4=2⋅6=123\cdot 4=2\cdot 6=12 と一致します。

方べきの定理の発展的な使い方

2つの円が2点で交わるとき、方べきの定理を両方の円に使うと、接線の長さの関係が分かります。

発展例題

2つの円が2点 A, B で交わっている。直線 AB 上で、線分 AB の外側に点 P があり、PA=4\mathrm{PA}=4、AB=6\mathrm{AB}=6 である。P から2つの円に接線を引き、接点をそれぞれ S, T とする。

(1) PS\mathrm{PS} の長さを求めよ。

(2) PS=PT\mathrm{PS}=\mathrm{PT} であることを示せ。

1. 1つ目の円に方べきの定理を使う

P は線分 AB の外側にあるので、PB=PA+AB=4+6=10\mathrm{PB}=\mathrm{PA}+\mathrm{AB}=4+6=10 です。1つ目の円で、接線 PS と直線 PAB に方べきの定理を使います。

PS2=PA⋅PB=4⋅10=40PS=40=210 \begin{aligned} \mathrm{PS}^2&=\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=4\cdot 10=40\\[4pt] \mathrm{PS}&=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \end{aligned}

2. 2つ目の円にも使う

直線 PAB は2つ目の円とも A, B で交わるので、同じように PT2=PA⋅PB=40\mathrm{PT}^2=\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=40 です。よって PS2=PT2\mathrm{PS}^2=\mathrm{PT}^2 で、PS>0\mathrm{PS}>0、PT>0\mathrm{PT}>0 より PS=PT\mathrm{PS}=\mathrm{PT} です。

直線 AB 上の点からは、2つの円への接線の長さが等しい

この問題では、2つの円に共通な直線 PAB を使って、方べきの定理を2回使いました 。

検算（別の方法）：座標で確かめます。円 x2+y2=25x^2+y^2=25 と円 (x−6)2+y2=13(x-6)^2+y^2=13 の交点は A(4, 3)\mathrm{A}(4,\ 3)、B(4, −3)\mathrm{B}(4,\ -3) で、AB=6\mathrm{AB}=6 です。P(4, 7)\mathrm{P}(4,\ 7) とすると PA=4\mathrm{PA}=4。円の外の点から引いた接線の長さは、三平方の定理で（中心までの距離2−^2-半径2^2）の平方根です。1つ目の円では 42+72−25=40\sqrt{4^2+7^2-25}=\sqrt{40}、2つ目の円では (4−6)2+72−13=40\sqrt{(4-6)^2+7^2-13}=\sqrt{40} となり、一致します。

注意

P が円の外部にあるとき、PB\mathrm{PB} は P から遠いほうの交点までの長さです。PA⋅AB\mathrm{PA}\cdot\mathrm{AB} のように、弦の長さそのものをかけてしまう間違いに注意しましょう。

この記事のまとめ

  • P が円の内部・外部のどちらでも、△PAC と △PDB が相似になり、PA⋅PB=PC⋅PD\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}。
  • 接線のときは、接線と弦のつくる角の定理から PT2=PA⋅PB\mathrm{PT}^2=\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}。
  • 2つの円の共通弦の延長上の点からは、方べきの定理を2回使うと、2つの円への接線の長さが等しいと分かる。

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