ヘロンの公式の証明：余弦定理と因数分解で3辺から面積を導く

数学1A 図形と計量（三角比）公式の成立更新 2026/11/03

ヘロンの公式

三角形の3辺の長さを $a,\ b,\ c$ 、 $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ とすると、面積 $S$ は

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

この記事の要点

面積の公式 $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ の $\sin C$ を、余弦定理で求めた $\cos C$ から作る
$S^2$ を計算すると、2乗の差の因数分解が2回でき、4つの1次式の積になる
3辺が分かれば角を求めずに面積が出るので、内接円・外接円の半径の計算にも使える

ヘロンの公式は、3辺の長さだけで三角形の面積が求まる便利な公式です。この記事では、数学Iで学ぶ面積の公式と余弦定理から、因数分解を使って証明します。

ヘロンの公式は何を言っているか

ふつう三角形の面積は「底辺×高さ÷2」や $\dfrac{1}{2}ab\sin C$ で求めます。どちらも高さや角の大きさが必要です。

ヘロンの公式は、角や高さを求めなくても、3辺の長さだけで面積が決まることを表しています。 $s$ は周の長さの半分です。

ヘロンの公式の証明

1. 面積を $\sin C$ で表す

次の図で、A から辺 BC に下ろした垂線の長さは $b\sin C$ なので

S=\frac{1}{2}ab\sin C

A から BC への垂線の長さは b sin C

2. 両辺を2乗して $\cos C$ を入れる

$\sin^2 C=1-\cos^2 C$ を使うために、両辺を2乗します。

\begin{aligned} S^2&=\frac{1}{4}a^2b^2\sin^2 C\\[4pt] &=\frac{1}{4}a^2b^2(1-\cos^2 C) \end{aligned}

余弦定理より $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ です。これを代入して、分母を $16$ にそろえます。

\begin{aligned} S^2&=\frac{1}{4}a^2b^2-\frac{1}{4}a^2b^2\cdot\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}\\[4pt] &=\frac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{16} \end{aligned}

3. 2乗の差を因数分解する（1回目）

分子は $X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)$ の形です。

\begin{aligned} 16S^2&=(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)\\[4pt] &=\{(a+b)^2-c^2\}\{c^2-(a-b)^2\} \end{aligned}

2行目は、 $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ 、 $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ を使いました。

4. 2乗の差を因数分解する（2回目）

どちらの $\{\ \}$ も、また2乗の差です。

16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)

5. $s$ で書きかえる

$a+b+c=2s$ なので、 $a+b-c=2s-2c=2(s-c)$ です。同じように $c+a-b=2(s-b)$ 、 $c-a+b=2(s-a)$ となります。

\begin{aligned} 16S^2&=2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-a)\\[4pt] S^2&=s(s-a)(s-b)(s-c) \end{aligned}

$S>0$ なので、 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ が得られます。

使い方の例題

例題

3辺の長さが $5,\ 6,\ 7$ の三角形の面積を求めよ。

$s=\dfrac{5+6+7}{2}=9$ です。

\begin{aligned} S&=\sqrt{9\cdot(9-5)\cdot(9-6)\cdot(9-7)}\\[4pt] &=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6} \end{aligned}

検算：長さ $7$ の辺に向かい合う角を $\theta$ とすると、余弦定理より $\cos\theta=\dfrac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 6}=\dfrac{1}{5}$ 、 $\sin\theta=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ 。 $\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot\dfrac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}$ で一致します。

ヘロンの公式の発展的な使い方

面積が分かると、内接円の半径 $r$ と外接円の半径 $R$ も求められます。次の2つの式と組み合わせます。

$S=rs$ （内心と3つの頂点を結んでできる3つの三角形の面積の和）
$S=\dfrac{abc}{4R}$ （ $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ に、正弦定理の $\sin C=\dfrac{c}{2R}$ を入れたもの）

発展例題

3辺の長さが $4,\ 5,\ 6$ の三角形について、次の値を求めよ。

(1) 内接円の半径 $r$

(2) 外接円の半径 $R$

1. ヘロンの公式で面積を求める

$s=\dfrac{4+5+6}{2}=\dfrac{15}{2}$ です。

\begin{aligned} S&=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot\frac{7}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}}\\[4pt] &=\frac{\sqrt{1575}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{4} \end{aligned}

（ $1575=225\times 7$ なので $\sqrt{1575}=15\sqrt{7}$ ）

2. 内接円の半径

$S=rs$ より

r=\frac{S}{s}=\frac{15\sqrt{7}}{4}\cdot\frac{2}{15}=\frac{\sqrt{7}}{2}

3. 外接円の半径

$S=\dfrac{abc}{4R}$ より

R=\frac{abc}{4S}=\frac{4\cdot 5\cdot 6}{15\sqrt{7}}=\frac{8}{\sqrt{7}}=\frac{8\sqrt{7}}{7}

3辺 4, 5, 6 の三角形の内接円（半径 r）と外接円（半径 R）

この問題では、ヘロンの公式で面積を先に求め、 $S=rs$ と $S=\dfrac{abc}{4R}$ を使って半径を逆算しました。

検算（別の方法）：長さ $6$ の辺に向かい合う角を $A$ とすると、余弦定理より $\cos A=\dfrac{5^2+4^2-6^2}{2\cdot 5\cdot 4}=\dfrac{1}{8}$ 、 $\sin A=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$ 。正弦定理で $2R=\dfrac{6}{\sin A}=\dfrac{16}{\sqrt{7}}$ となり、 $R=\dfrac{8\sqrt{7}}{7}$ と一致します。

注意

$s$ は周の長さそのものではなく、その半分です。 $s=a+b+c$ としてしまう間違いが多いので注意しましょう。また、3辺の長さが三角形を作れない組（ $1,\ 2,\ 4$ など）では、根号の中が負になります。

この記事のまとめ

$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$ と余弦定理から $16S^2=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2$ を作る。
2乗の差の因数分解を2回使い、 $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ で書きかえると $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 。
$S=rs$ 、 $S=\dfrac{abc}{4R}$ と組み合わせると、内接円・外接円の半径が求まる。

ヘロンの公式は何を言っているか

ヘロンの公式の証明

使い方の例題

ヘロンの公式の発展的な使い方

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