放射性崩壊と半減期：指数関数で表す理由と年代測定の計算

物理の「原子」の分野で学ぶ半減期は、数学IIの指数関数そのものです。このコラムでは、なぜ指数関数になるのかを確率から考え、年代測定の計算を対数で行います。

高校数学の問題：半分ずつ減る量

時間 $T$ で $\dfrac{1}{2}$ 倍、$2T$ で $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ 倍、$3T$ で $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ 倍になります。時間 $t$ は $T$ の $\dfrac{t}{T}$ 倍なので

$\dfrac{1}{8}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ なので、$\dfrac{t}{T}=3$ より $3T$ 後です。

なぜ指数関数になるのか

放射性の原子核は、1つ1つを見ると、いつ崩壊するかは分かりません。ただし、どの原子核も、短い時間 $\Delta t$ の間に崩壊する確率は同じで、時間がたっても変わりません。

そのため、$N$ 個残っているとき、$\Delta t$ の間に崩壊する数は、およそ $N$ に比例します（比例定数を $\lambda$ とすると $\lambda N\Delta t$ 個）。減る数が残っている数に比例するので、同じ時間ごとに同じ割合で減る ことになり、これが指数関数の性質です。

次の図は、1000個の原子核を、$\dfrac{T}{10}$ ごとに同じ確率（$1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{10}}\fallingdotseq 0.067$。これを10回くり返すと、残る割合がちょうど $\dfrac{1}{2}$ になる値）で乱数を使って崩壊させた結果（点）と、$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ の曲線を比べたものです。

1つ1つはばらばらでも、数が多いと全体の減り方は指数関数にほぼ一致します。

年代測定の計算

生きている植物や動物の体の中では、炭素のうち放射性の炭素14（$^{14}\mathrm{C}$）の割合がほぼ一定に保たれています。死ぬと炭素14は補充されなくなり、半減期 約5730年で減っていきます。残っている割合を測れば、死んでからの年数が分かります。

残りが $25\%$ のとき：$\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ なので $t=2T=2\times 5730=11460$、約 $1.1\times10^4$ 年です。

残りが $10\%$ のとき：$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}=\dfrac{1}{10}$ の両辺の常用対数をとると

約 $1.9\times10^4$ 年です。指数の中の未知数は、対数をとると1次方程式として求められます （対数の計算は底の変換公式も参考にしてください）。

検算：$t=19040$ 年として $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{19040}{5730}}=0.100$ となり、残り $10\%$ に戻ります。

その先：微分方程式とネイピア数 e

減る数が残っている数に比例する、という関係を数学IIIの微分で書くと

となります。このように、関数とその導関数の関係を表す式を微分方程式といいます。この式を満たす関数は $N=N_0e^{-\lambda t}$ です（$e$ はネイピア数。(e^x)’=e^x になる理由）。実際、微分すると $\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N_0e^{-\lambda t}=-\lambda N$ となります。

$t=T$ で $N=\dfrac{N_0}{2}$ になるので $e^{-\lambda T}=\dfrac{1}{2}$、つまり $\lambda T=\log 2$（自然対数）です。これを使うと $e^{-\lambda t}=\left(e^{-\lambda T}\right)^{\frac{t}{T}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ となり、はじめの式と一致します。

同じ「残っている量に比例して減る（増える）」形の微分方程式は、多くの薬が体から抜けていく速さ（近似的に）、コンデンサーの放電、利息が連続でつく預金の増え方など、さまざまな現象に出てきます。大学では、これらをまとめて微分方程式として学びます。