判別式 D の意味：解の公式の √ の中身を見る理由

数学1A 2次関数公式の成立更新 2026/11/03

2次方程式の判別式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ （ $a,\ b,\ c$ は実数、 $a\neq 0$ ）について、 $D=b^2-4ac$ を判別式という。

この記事の要点

判別式は「 $D>0$ なら解が2つ」と覚えがちですが、なぜ $b^2-4ac$ という式で個数が分かるのかを説明できるでしょうか。実は判別式は、新しく作られた式ではなく、2次方程式の解の公式の一部を取り出したものです。この記事では、その関係を確かめます。

判別式は解の公式の √ の中身

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は、解の公式から

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

です。根号の中身 $b^2-4ac$ を $D$ と書くと

x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

となります。 $-b$ と $2a$ は決まった実数なので、解がどうなるかは $\sqrt{D}$ がどうなるかだけで決まります。

$D>0$ のとき： $\sqrt{D}$ は正の実数です。 $+\sqrt{D}$ と $-\sqrt{D}$ が異なる値になるので、解は

x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\qquad x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

の異なる2つの実数解になります。

$D=0$ のとき： $\sqrt{D}=0$ なので、 $\pm$ のどちらでも

x=-\frac{b}{2a}

となり、2つの解が重なって**1つ（重解）**になります。

$D<0$ のとき：実数の範囲では、2乗して負になる数はないので $\sqrt{D}$ は実数になりません。したがって実数解はありません（数学IIで学ぶ複素数の範囲では、虚数解を2つもちます）。

$y=ax^2+bx+c$ を平方完成すると

\begin{aligned} y&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c\\[4pt] &=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a} \end{aligned}

となり、頂点の $y$ 座標は $-\dfrac{D}{4a}$ です。2行目は $-\dfrac{b^2}{4a}+c=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$ とまとめました。

$a>0$ （下に凸）のとき、 $D>0$ なら頂点の $y$ 座標は負で、グラフは x 軸より下に頂点をもち、x 軸と2点で交わります。

a > 0 のとき、頂点の y 座標 −D/4a の符号でグラフと x 軸の交わり方が決まる

方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解は、グラフと x 軸の共有点の $x$ 座標です。判別式の符号は、グラフが x 軸と何点で交わるかを表していると言えます。

$b=2b'$ のときは

D=(2b')^2-4ac=4(b'^2-ac)

なので、 $\dfrac{D}{4}=b'^2-ac$ の符号を調べれば十分です。 $4$ で割っても符号は変わらないからです。

例題

2次方程式 $x^2+2kx+k+6=0$ が重解をもつような定数 $k$ の値と、そのときの重解を求めよ。

$x$ の係数が $2k$ （偶数の形）なので、 $b'=k$ として $\dfrac{D}{4}$ を使います。重解をもつ条件は $D=0$ なので

\begin{aligned} \frac{D}{4}=k^2-(k+6)&=0\\[4pt] k^2-k-6&=0\\[4pt] (k-3)(k+2)&=0 \end{aligned}

よって $k=3,\ -2$ です。重解は $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2k}{2}=-k$ なので

検算として、 $k=3$ なら方程式は $x^2+6x+9=(x+3)^2=0$ 、 $k=-2$ なら $x^2-4x+4=(x-2)^2=0$ となり、どちらも重解をもちます。

注意

判別式で解の個数を判定できるのは、係数がすべて実数で、 $x^2$ の係数が $0$ でないときです。「 $x^2$ の係数に文字を含む方程式」では、まず $x^2$ の係数が $0$ になる場合（2次方程式でなくなる場合）を別に調べましょう。

この記事のまとめ