合成関数の微分の証明：dy/dx=dy/du·du/dx を導く

$(x^2+1)^3$ のように、関数の中に関数が入った式を合成関数といいます。展開すれば微分できますが、$(x^2+1)^{10}$ では現実的ではありません。この記事では、合成関数の微分の公式を導関数の定義から証明し、使い方を確かめます。

合成関数の微分の公式の意味

$u=x^2$ のあとに $y=u^3$ を行うと、$y=x^6$ になります。この $x=1$ での変化を見ます。

$x$ が少し増えたとき、$u$ は約 $2$ 倍の量だけ増えます（$\dfrac{du}{dx}=2$）。その $u$ の増え方に対し、$y$ は約 $3$ 倍の量だけ増えます（$\dfrac{dy}{du}=3$）。したがって $x$ に対する $y$ の増え方は $3\times 2=6$ 倍です。実際 $y=x^6$ の $x=1$ での微分係数は $6$ です。

合成関数の微分の証明

$x$ を固定し、$u_0=g(x)$ とおきます。$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\dfrac{\Delta u}{\Delta x}$ と書きたいのですが、$\Delta u=0$ になる $h$ があると $0$ で割ってしまいます。そこで、割り算を使わない形にします。

1. 誤差を表す関数 $\varphi$ を作る

$f$ は $u_0$ で微分可能なので、$k\ne 0$ に対して

とおき、$\varphi(0)=0$ と決めます。微分の定義から、$k\to 0$ のとき $\varphi(k)\to 0$ です。

2. 割り算のない式に直す

1 の式を変形して

$k\ne 0$ では定義そのもの、$k=0$ では両辺とも $0$ なので、$k=0$ でも成り立ちます。

3. $k$ を $g$ の変化量にする

$k=g(x+h)-g(x)$ とおくと $u_0+k=g(x+h)$ です。2 に入れて $h$ で割ると

4. $h\to 0$ とする

$g$ は微分可能なので連続で、$h\to 0$ のとき $k\to 0$、よって $\varphi(k)\to 0$ です。また $\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\to g'(x)$ です。したがって

合成関数の微分の公式が証明できました 。

3重の合成と図で見る

合成が3段のときは、倍率が3つ並びます。$y=f(v)$、$v=g(u)$、$u=h(x)$ なら

これは公式を2回使えば出ます。たとえば $y=\sin\left(e^{2x}\right)$ は、$u=2x$、$v=e^u$、$y=\sin v$ の3段です。

三角関数の部分の微分は (sin x)’=cos x の証明 を使いました。なお、この公式を逆向きに読むと置換積分になります（置換積分の公式の導出）。

合成関数の微分の例題

$u=x^2+1$ とおくと、$y=u^3$ です。

公式に入れます。

2行目は $u=x^2+1$ に戻しました。$x=1$ では $6\cdot 1\cdot 2^2=24$ です。答えは $24$（導関数は $6x(x^2+1)^2$） です。

展開して $y=x^6+3x^4+3x^2+1$ を微分すると $6x^5+12x^3+6x$ で、$x=1$ で $24$ となり一致します。

合成関数の微分の発展的な使い方

公式を使うと、逆関数の微分が導けます。

(1) $f(1)=1+1=2$ なので $g(2)=1$ です。$g(f(x))=x$ の両辺を $x$ で微分します。左辺に合成関数の微分を使うと

$f'(x)=3x^2+1$ なので、$x=1$ とすると $g'(2)\cdot 4=1$ です。よって $g'(2)=\dfrac{1}{4}$。

(2) $h'(x)=2g(x)\,g'(x)$ です（外側 $u^2$ を微分して $2u$、中身の微分 $g'(x)$ を掛けました）。$x=2$ を入れて

答えは (1) $\dfrac{1}{4}$、(2) $\dfrac{1}{2}$ です。$g$ の式を求めなくても、$f$ だけで $g'$ が分かりました。

陰関数の微分も同じ考え方です。$x^2+y^2=25$ の両辺を $x$ で微分すると、$y$ は $x$ の関数なので $y^2$ の微分は $2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ となり、$2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$、つまり $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$ です。