ファラデーの法則の計算：電気分解で析出する量を電気量から求める

電気分解の計算は、公式を丸暗記するより「電気量 → 電子の物質量 → 反応式 → 物質量 → 質量・体積」という流れで考えると、迷いません。この記事では、その流れの根拠であるファラデーの法則を導き、例題で使います。

ファラデーの法則とファラデー定数の意味

電気分解では、陰極で還元、陽極で酸化が起こります。電子は陽極から電源を通って陰極へ流れます（電流の向きは逆）。

陰極では $\mathrm{Cu^{2+}}+2\mathrm{e^{-}}\longrightarrow\mathrm{Cu}$ が起こります。$\mathrm{Cu}$ 原子1個の析出には電子2個が必要なので、析出量は電子の数に比例し、電子の数は流れた電気量に比例します。これがファラデーの法則です。

電子1個の電気量の大きさ（電気素量）は $e=1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$、アボガドロ定数は $N_{\mathrm{A}}=6.022\times10^{23}\ /\mathrm{mol}$ なので、電子1 mol の電気量は

これをファラデー定数といいます。この記事では $F=9.65\times10^{4}\ \mathrm{C/mol}$ を使います。

ファラデーの法則の導出

$It$ から析出量までを、1段階ずつ式にします。

1. 電気量を求める

電流は1秒あたりに流れる電気量です（電流の定義）。$1\ \mathrm{A}=1\ \mathrm{C/s}$ なので、

2. 電子の物質量に直す

電子1 mol の電気量が $F$ なので、電気量 $Q$ の中の電子は

3. 電極反応式の係数比で、析出する物質の物質量に直す

電子 $z$ 個で1個の原子ができるので、電子 $n_{\mathrm{e}}$ mol からできる物質は $n=\dfrac{n_{\mathrm{e}}}{z}$ mol です。

4. モル質量を掛けて質量にする

単位は $\mathrm{g/mol}\times\mathrm{A\cdot s}\div(\mathrm{C/mol})=\mathrm{g}$ となり、質量になります。$Q$ が2倍になれば $m$ も2倍で、析出量は電気量に比例します 。

図で見る：電気量と析出量のグラフ

$m=\dfrac{M}{z}\cdot\dfrac{Q}{F}$ は $Q$ に比例するので、原点を通る直線です。傾きは $\dfrac{M}{zF}$ で、$\mathrm{Ag}$（$M=108,\ z=1$）は $\mathrm{Cu}$（$M=64,\ z=2$）の約3.4倍です。

使い方の例題

1. 電気量と電子の物質量

$50.0$ 分は $3000\ \mathrm{s}$ なので、

2. (1) 銅

$\mathrm{Cu^{2+}}+2\mathrm{e^{-}}\longrightarrow\mathrm{Cu}$ より、$\mathrm{Cu}$ の物質量は電子の半分です（右辺の電荷は0、左辺は $+2-2=0$ でそろっています）。

3. (2) 酸素

陽極では $2\mathrm{H_2O}\longrightarrow\mathrm{O_2}+4\mathrm{H^{+}}+4\mathrm{e^{-}}$（H が4個、O が2個、電荷は $+4-4=0$ でそろう）が起こるので、$\mathrm{O_2}$ は電子の $\dfrac{1}{4}$ です。

答えは (1) $1.92\ \mathrm{g}$、(2) $336\ \mathrm{mL}$ です。

検算（別の方法）：1秒ごとに電子が $1.93\div96500\ \mathrm{mol}$ ずつ増えるとして3000秒分を数値で足し上げても、$\mathrm{Cu}$ は $1.92\ \mathrm{g}$、$\mathrm{O_2}$ は $336\ \mathrm{mL}$ になります。

ファラデーの法則の発展的な使い方

発展では、電解槽を直列につなぐ問題と、析出量から時間を逆算する問題を扱います。直列では、どの電解槽にも同じ電気量が流れる（電子の物質量が等しい）ことがポイントです。

1. 銀から電子の物質量を逆算する

$\mathrm{Ag^{+}}+\mathrm{e^{-}}\longrightarrow\mathrm{Ag}$ なので、電子の物質量は銀と同じです。

2. (1) 時間

$It=n_{\mathrm{e}}F$ より、

3. (2) 銅

直列なので、硫酸銅(II)水溶液の電解槽にも電子は $0.0200\ \mathrm{mol}$ 流れます。

4. (3) 酸素

陽極の反応は、硝酸銀水溶液でも硫酸銅(II)水溶液でも $2\mathrm{H_2O}\longrightarrow\mathrm{O_2}+4\mathrm{H^{+}}+4\mathrm{e^{-}}$ です。電子 $0.0200\ \mathrm{mol}$ ごとに $\mathrm{O_2}$ は $0.00500\ \mathrm{mol}$ なので、2つの槽の合計は

答えは (1) $1.00\times10^{3}\ \mathrm{s}$、(2) $0.640\ \mathrm{g}$、(3) $224\ \mathrm{mL}$ です。この問題では、電気量（電子の物質量）を共通の橋渡しにして、銀から銅・酸素へ量を換算しました 。

検算（別の方法）：銀と銅の析出量の比は、グラフの傾きの比 $\dfrac{108}{1}:\dfrac{64}{2}=108:32$ と等しく、$2.16:0.640=108:32$ で一致します。

物質量の扱いは 中和滴定の計算 と同じ考え方で、エネルギーの出入りは ヘスの法則 の記事で整理しています。化学の参考書は テキスト購入（化学） で紹介しています。