オイラーの公式 e^{iθ}=cosθ+i sinθ：複素数平面の回転から指数関数へ

数学IIIの複素数平面では、「複素数のかけ算は回転」と学びます。このコラムでは、そこから出発して、指数関数 $e^x$ と三角関数が1つの式で結ばれるオイラーの公式を紹介します。

高校数学の問題：かけ算で角が足される

展開して $i^2=-1$ を使い、加法定理でまとめます。

$E(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$ と書くと、この結果は

です。指数関数の指数法則 $a^\alpha a^\beta=a^{\alpha+\beta}$ と同じ形 になっています。ここから、「$E(\theta)$ は何かの指数関数ではないか」と考えるのが、オイラーの公式への入り口です。

微分で見る：微分すると i 倍になる

$E(\theta)$ を $\theta$ で微分してみます（$i$ は定数として扱います）。

2行目は、$i\cdot i\sin\theta=-\sin\theta$ を使いました。一方、指数関数は $(e^{k\theta})'=k\,e^{k\theta}$ で、微分すると $k$ 倍になります（$e$ の定義と微分は(e^x)’=e^x になる理由で紹介しました）。$E(\theta)$ は「微分すると $i$ 倍」なので、$k=i$ の指数関数、つまり $e^{i\theta}$ と考えられます。$\theta=0$ では $E(0)=1=e^0$ で、出発点も一致します。

極限で見る：小さな回転を n 回くり返す

$e$ には $e^x=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ という表し方があります。ここに $x=i\pi$ を入れたらどうなるか、実際に計算してみます。

$1+\dfrac{i\pi}{n}$ は、複素数平面で偏角がおよそ $\dfrac{\pi}{n}$、絶対値が $\sqrt{1+\dfrac{\pi^2}{n^2}}$ の数です。これを $n$ 回かけると、小さな回転を $n$ 回くり返すことになります。

計算すると、$n=4$ では $-2.32+1.20i$、$n=32$ では $-1.17+0.01i$、$n=1000$ では $-1.005+0.00001i$ となり、$-1$ に近づきます。つまり

です。オイラー自身も、1748年の著書『無限解析入門』で、ド・モアブルの定理と $e^x$ のこの極限を使ってこの公式を示しています。

その先：大学数学と物理へ

オイラーの公式を使うと、三角関数の計算が指数関数の計算に変わります。たとえば加法定理は、$e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}$ の両辺の実部と虚部を比べるだけで出てきます。

• 複素関数論（大学数学）：$e^z$ や $\sin z$ を、複素数 $z$ を入れられる関数として考える分野。$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ は、$e^x$・$\sin x$・$\cos x$ を無限に続く多項式（べき級数）で表すと、項を並べかえるだけで確かめられます。
• フーリエ解析：音や電気信号のような波を、たくさんの $e^{i\omega t}$（振動数 $\omega$ の回転）の和に分けて調べる方法。
• 物理・電気回路：交流の電圧や、ばねの振動（三角関数と単振動）を $e^{i\omega t}$ で表すと、微分が「$i\omega$ を掛ける」だけになり、計算が簡単になります。

$e^{i\pi}+1=0$ は、$e$・$i$・$\pi$・$1$・$0$ という数学の大切な5つの数が1つの式に入っていることでも知られています。