円周率が3.05より大きいことの証明（東大2003年）とアルキメデスの方法

問題文はたった1行ですが、「円周率とは何か」という定義から考えないと手が出ない問題です。この記事では、数学Iの余弦定理だけで解く方法と、その背景にある2000年以上前の考え方を紹介します。

この問題の何が面白いか

円周率 $\pi$ は「円周の長さ ÷ 直径」で定義される数です。$3.14\cdots$ という値は知っていても、それを使わずに $\pi>3.05$ を示さなければなりません。

手がかりは、円に内接する多角形の周の長さは、円周より短い ことです。2点を結ぶ線の中で、まっすぐな線分がいちばん短いからです。

半径 $1$ の円（円周 $2\pi$）に内接する正六角形は、1辺が $1$ の正三角形を6つ並べた形なので、周の長さは $6$ です。

しかしこれでは $3.05$ に届きません。もっと円に近い多角形が必要です。

解き方：正八角形と余弦定理

半径 $1$ の円に内接する正八角形を考えます。中心と隣り合う2つの頂点を結ぶと、2辺が $1$、間の角が $360^\circ\div 8=45^\circ$ の二等辺三角形になります。

1辺の長さを $s$ とすると、余弦定理より

正八角形の周の長さ $8s$ は円周 $2\pi$ より短いので

あとは $4\sqrt{2-\sqrt{2}}>3.05$ を示せば終わりです。両辺とも正なので、2乗して比べます。

最後の式も両辺が正なので、もう一度2乗すると $22.6975^2=515.17\cdots$、$(16\sqrt{2})^2=512$ となり、確かに成り立ちます。よって $\pi>3.05$ です。

正十二角形を使う方法もあります。中心角は $30^\circ$ なので1辺の2乗は $2-\sqrt{3}$ となり、$\pi>6\sqrt{2-\sqrt{3}}=3.10\cdots$ が得られます。

背景：アルキメデスの方法

この「内接する正多角形で円周率を下からおさえる」考え方は、古代ギリシャのアルキメデスが著書『円の計測』で使った方法です。アルキメデスは、円に内接する正96角形と外接する正96角形の周の長さを計算し、

という範囲を示しました。小数にすると $3.1408\cdots<\pi<3.1428\cdots$ で、小数第2位まで $3.14$ と決まります。

半径 $1$ の円で、内接・外接する正 $n$ 角形の周の半分は、それぞれ $n\sin\dfrac{\pi}{n}$、$n\tan\dfrac{\pi}{n}$ です（$\pi$ をはさむ下の値と上の値）。$n$ を増やすと、両側から $\pi$ に近づいていきます。

東大の問題は、このアルキメデスの方法の「入り口」を、数学Iの余弦定理で体験させる問題だといえます。

この問題から学べること

• 定義に戻る：「円周率とは何か」を言葉で説明できれば、図形の問題に置きかえられる
• はさんで評価する：求めたい数を、計算できる数で上や下からおさえる。この考え方は、数学IIIの極限の「はさみうちの原理」につながる
• 近似値を使わない：不等式の証明では、2乗するなどして誤差のない比較にする