(e^x)'=e^x になる理由：ネイピア数 e の定義から導く

「$e^x$ は微分しても $e^x$」は数学IIIでよく使う公式ですが、なぜ $2.718\cdots$ という中途半端な数を底にすると、こんなにきれいな形になるのでしょうか。この記事では、$e$ の定義から順にたどって、その理由を確かめます。

指数関数の微分は「0での傾き」で決まる

$f(x)=a^x$ を、導関数の定義にしたがって微分します。

2行目は指数法則 $a^{x+h}=a^x\cdot a^h$ で $a^x$ をくくり出し、3行目は $h$ を含まない $a^x$ を極限の外に出しました。

最後の極限 $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$ は、$f'(0)$、つまりグラフの $x=0$ での接線の傾きです。したがって

となり、指数関数の導関数は、もとの関数の「定数倍」になる ことが分かります。

$h=0.0001$ として傾きを計算すると、$a=2$ では約 $0.693$、$a=3$ では約 $1.099$ です。底を $2$ から $3$ へ大きくしていくと、傾きは $1$ より小さい値から大きい値へ変わります。そこで、傾きがちょうど $1$ になる底を使えば、$f'(0)=1$ となって、導関数がもとの関数そのものになるはずです。その底が $e$ です。

e の定義から lim (e^h−1)/h=1 を導く

数学IIIでは、ネイピア数 $e$ を次の極限で定義します。

この $e$ について、$x=0$ での傾きが $1$ であること、つまり $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$ を示します。

1. $t=e^h-1$ とおく

$e^h=1+t$ なので、両辺の自然対数をとって $h=\log(1+t)$。また、$h\to 0$ のとき $t\to 0$ です。

2. $t$ だけの式に書きかえる

2行目は分母と分子を $t$ で割り、3行目は対数の性質 $k\log M=\log M^k$ を使いました。

3. 極限をとる

$t\to 0$ のとき $(1+t)^{\frac{1}{t}}\to e$ なので、分母は $\log e=1$ に近づきます。したがって

これで $e$ を底とする指数関数の $f'(0)$ が $1$ だと分かりました。最初の式 $(a^x)'=f'(0)\cdot a^x$ に $a=e$ をあてはめると、$(e^x)'=1\cdot e^x=e^x$ が導けます。

a^x の微分も e から求まる

一般の底 $a$ は、$a=e^{\log a}$ と書けるので、$a^x=e^{x\log a}$ です。合成関数の微分を使うと

となります。$a=2$ のとき $\log 2=0.6931\cdots$ で、さきほど計算した $x=0$ での傾き（約 $0.693$）と一致します。

$y'=e^x$ なので、$x=1$ での接線の傾きは $e^1=e$ です。点 $(1,\ e)$ を通り傾き $e$ の直線は

答えは $y=ex$ です。この接線は原点を通ります。検算として、$x=1$ を代入すると $y=e$ となり、接点を通っていることが確かめられます。