ドップラー効果の公式の導出：波長の縮みと観測者の動きから

物理波動公式の成立 更新
目次

ドップラー効果の公式

音速を VV、音源の振動数を ff とする。音源から観測者に向かう向きを正として、音源の速度を vSv_S、観測者の速度を vOv_O とすると、観測者が聞く音の振動数 f′f' は

f′=V−vOV−vS f f'=\frac{V-v_O}{V-v_S}\,f

この記事の要点

  • 音源が動くと、1秒間に出した ff 個の波が長さ V−vSV-v_S に詰まり、波長が λ′=V−vSf\lambda'=\dfrac{V-v_S}{f} になる
  • 観測者が動くと、1秒間に観測者を通り過ぎる波の長さが V−vOV-v_O になる
  • 「通り過ぎる長さ÷波長」が、1秒間に聞く波の数、つまり振動数になる

救急車が近づくときはサイレンが高く、遠ざかるときは低く聞こえます。これがドップラー効果です。この記事では、波の基本式 V=fλV=f\lambda（波の速さ＝振動数×波長）だけを使って、公式を2段階で導きます。音の速さは、風がなければ音源や観測者が動いても変わらないとします。

ドップラー効果の公式は何を表しているか

音源が右へ動きながら音を出すと、波面は次の図のようになります。

前方では波面が詰まり、後方では広がる（v_S = 0.4V の例）

公式は、音源の動きは分母（波長の変化）、観測者の動きは分子（受け取る波の数の変化）に入る ことを表しています。

ドップラー効果の公式の導出

1. 音源が動くと波長が変わる

音源が1秒間に出す波の数は ff 個です。1秒前に出した最初の波は、今は音源のいた位置から VV 進んでいます。その間に音源は vSv_S 進んでいます。

1秒間に出した f 個の波が、長さ V − v_S に入る

ff 個の波が長さ V−vSV-v_S に入っているので、音源の前方での波長は

λ′=V−vSf \lambda'=\frac{V-v_S}{f}

2. 観測者が動くと、受け取る波の長さが変わる

観測者が静止していれば、1秒間に観測者を通り過ぎる波の長さは VV です。観測者が正の向き（音と同じ向き）に vOv_O で動くと、音に追いかけられる形になるので、通り過ぎる長さは V−vOV-v_O に減ります。

3. 振動数を求める

1秒間に聞く波の数は「通り過ぎる長さ÷波長」です。

f′=V−vOλ′=(V−vO)⋅fV−vS=V−vOV−vS f \begin{aligned} f'&=\frac{V-v_O}{\lambda'}\\[4pt] &=(V-v_O)\cdot\frac{f}{V-v_S}=\frac{V-v_O}{V-v_S}\,f \end{aligned}

vS=vO=0v_S=v_O=0 なら f′=ff'=f で、ドップラー効果は起きません。

使い方の例題

例題

振動数 640 Hz640\,\mathrm{Hz} の音を出す救急車が、速さ 20 m/s20\,\mathrm{m/s} で、静止している人に近づいている。人が聞く音の振動数を求めよ。音速は 340 m/s340\,\mathrm{m/s} とする。

救急車から人に向かう向きが正なので、vS=+20 m/sv_S=+20\,\mathrm{m/s}、vO=0v_O=0 です。

f′=340−0340−20×640=340320×640=680 Hz f'=\frac{340-0}{340-20}\times 640=\frac{340}{320}\times 640=680\ \mathrm{Hz}

検算：手順1から、前方の波長は λ′=340−20640=0.50 m\lambda'=\dfrac{340-20}{640}=0.50\,\mathrm{m}。静止した人には音が 340 m/s340\,\mathrm{m/s} で届くので、V=fλV=f\lambda より f′=3400.50=680 Hzf'=\dfrac{340}{0.50}=680\,\mathrm{Hz} で一致します。

ドップラー効果の公式の発展的な使い方

動く物体で音が反射するときは、公式を2回使います。反射板は、まず「音を受け取る観測者」になり、次に「その音を出す音源」になります。

発展例題

静止した音源から振動数 480 Hz480\,\mathrm{Hz} の音を出し、音源に向かって速さ 20 m/s20\,\mathrm{m/s} で近づく反射板で反射させる。音源と同じ位置で静止している観測者について、音速を 340 m/s340\,\mathrm{m/s} として、次の問いに答えよ。

(1) 反射音の振動数を求めよ。

(2) 音源からの直接音と反射音が重なって聞こえるとき、1秒間のうなりの回数を求めよ。

反射板は、①観測者として受け取り、②音源として出す

1. 反射板が受け取る振動数

音源から反射板に向かう向きを正とすると、反射板は音源に近づくので vO=−20 m/sv_O=-20\,\mathrm{m/s} です。

f1=340−(−20)340×480=360340×480 f_1=\frac{340-(-20)}{340}\times 480=\frac{360}{340}\times 480

2. 反射板が出す音を観測者が聞く

今度は反射板が音源です。反射板から観測者に向かう向きを正とすると、反射板は観測者に近づくので vS=+20 m/sv_S=+20\,\mathrm{m/s}、観測者は静止しています。

f2=340340−20×f1=340320×360340×480=360320×480=540 Hz \begin{aligned} f_2&=\frac{340}{340-20}\times f_1\\[4pt] &=\frac{340}{320}\times\frac{360}{340}\times 480=\frac{360}{320}\times 480=540\ \mathrm{Hz} \end{aligned}

3. うなりの回数

うなりの回数は、2つの音の振動数の差です。

540−480=60 回 540-480=60\ \text{回}

この問題では、反射板を「観測者」と「音源」の2役に分けて、公式を2回使いました 。途中の f1f_1 の 340340 は、2回目の計算で約分されて消えます。

検算（別の方法）：波の山を1つずつ追います。時刻 00 に反射板が距離 DD の位置にあり、音源が時刻 tn=n480t_n=\dfrac{n}{480} に nn 番目の山を出すとします。山が反射板に届く時刻は 340(t−tn)=D−20t340(t-t_n)=D-20t より t=D+340tn360t=\dfrac{D+340t_n}{360}、そこから観測者に戻る時刻は t+D−20t340t+\dfrac{D-20t}{340} です。tnt_n が 1480\dfrac{1}{480} 増えるごとに戻る時刻は 1480×340360×320340=1540\dfrac{1}{480}\times\dfrac{340}{360}\times\dfrac{320}{340}=\dfrac{1}{540} ずつ増えるので、反射音の振動数は 540 Hz540\,\mathrm{Hz} で一致します。

注意

vSv_S と vOv_O の符号は「音源から観測者に向かう向きを正」で決めます。反射の問題では、1回目と2回目で「音源から観測者に向かう向き」が逆になるので、そのつど向きを決め直します。

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この記事のまとめ

  • 音源が動くと、ff 個の波が長さ V−vSV-v_S に詰まり、波長が V−vSf\dfrac{V-v_S}{f} になる。
  • 観測者が動くと、通り過ぎる波の長さが V−vOV-v_O になり、f′=V−vOV−vS ff'=\dfrac{V-v_O}{V-v_S}\,f。
  • 反射板は「観測者」と「音源」の2役で、公式を2回使う。

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