ド・モアブルの定理の証明：極形式のかけ算は回転になる

ド・モアブルの定理は、複素数の $n$ 乗を一気に計算できる定理です。この記事では、極形式のかけ算が回転になることを加法定理で確かめ、そこから数学的帰納法で証明します。

ド・モアブルの定理は何を言っているか

$z=\cos\theta+i\sin\theta$ は、複素数平面で原点からの距離が $1$、偏角が $\theta$ の点です。定理は、$z$ を $n$ 回かけると、偏角が $n\theta$ の点になる ことを言っています。

ド・モアブルの定理の証明

1. 極形式のかけ算を計算する

2つの複素数 $\cos\alpha+i\sin\alpha$ と $\cos\beta+i\sin\beta$ をかけます。$i^2=-1$ に注意して展開します。

最後の行は加法定理です。かけ算をすると偏角が足し算になる ことが分かりました。

2. $n$ が正の整数のとき（数学的帰納法）

$n=1$ のときは、両辺とも $\cos\theta+i\sin\theta$ で成り立ちます。

$n=k$ のとき成り立つと仮定します。$n=k+1$ のとき、手順1の式で $\alpha=k\theta$、$\beta=\theta$ とすると

よって $n=k+1$ のときも成り立ち、すべての正の整数 $n$ で成り立ちます。

3. $n=0$ と負の整数のとき

$n=0$ のときは、両辺とも $1$ です。

手順1で $\alpha=\theta$、$\beta=-\theta$ とすると、積は $\cos 0+i\sin 0=1$ です。したがって

$n=-m$（$m$ は正の整数）のときは、この式と手順2を組み合わせて

となり、$n$ が負の整数でも成り立ちます。

使い方の例題

まず極形式にします。絶対値は $\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$ なので

ド・モアブルの定理より

検算：$(1+\sqrt{3}\,i)^2=1+2\sqrt{3}\,i-3=-2+2\sqrt{3}\,i$、$(1+\sqrt{3}\,i)^3=(-2+2\sqrt{3}\,i)(1+\sqrt{3}\,i)=-2-2\sqrt{3}\,i+2\sqrt{3}\,i-6=-8$。よって6乗は $(-8)^2=64$ で一致します。

ド・モアブルの定理の発展的な使い方

定理を逆向きに使うと、$z^n=$（複素数）の形の方程式が解けます。

1. 両辺を極形式にする

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$（$r>0$、$0^\circ\le\theta<360^\circ$）とおきます。$8i=8(\cos 90^\circ+i\sin 90^\circ)$ です。

2. ド・モアブルの定理で左辺を計算する

3. 絶対値と偏角を比べる

絶対値から $r^3=8$ で、$r>0$ より $r=2$。偏角は $360^\circ$ の整数倍のずれを許して

$0^\circ\le\theta<360^\circ$ なので、$k=0,\ 1,\ 2$ より $\theta=30^\circ,\ 150^\circ,\ 270^\circ$ です。

4. 解を書く

この問題では、ド・モアブルの定理を逆向きに使い、$n$ 乗の方程式を「絶対値」と「偏角」の2つの式に分けて解きました 。偏角を $360^\circ$ ずらしたものも同じ点なので、$k$ を変えると解が3つ出てきます。

検算（別の方法）：$(-2i)^3=-8i^3=-8\cdot(-i)=8i$ です。$(\sqrt{3}+i)^2=2+2\sqrt{3}\,i$、$(\sqrt{3}+i)^3=(2+2\sqrt{3}\,i)(\sqrt{3}+i)=2\sqrt{3}+2i+6i-2\sqrt{3}=8i$ で、どちらも一致します。また3つの解の和は $0$ で、$z^3-8i=0$ の $z^2$ の係数が $0$ であることとも合っています。