コンデンサーのエネルギー ½CV² の導出：電圧と電気量のグラフの面積で導く

物理電磁気公式の成立 更新
目次

コンデンサーにたくわえられるエネルギー

電気容量 CC のコンデンサーに電気量 QQ がたまり、極板間の電圧が VV のとき（Q=CVQ=CV）、たくわえられるエネルギー（静電エネルギー）は

U=12QV=12CV2=Q22C U=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}CV^2=\frac{Q^2}{2C}

この記事の要点

  • 充電の途中では、たまった電気量 qq に比例して電圧 v=qCv=\dfrac{q}{C} も大きくなる
  • 電気量を少しずつ運ぶ仕事 v Δqv\,\Delta q を足すと、電圧と電気量のグラフの三角形の面積になる
  • 三角形なので、QVQV ではなく 12QV\dfrac{1}{2}QV になる

コンデンサーのエネルギーは、物理の電磁気で学ぶ公式です。「電気量×電圧なら QVQV では？」と思うかもしれませんが、正しくは 12QV\dfrac{1}{2}QV です。この記事では、その 12\dfrac{1}{2} がどこから来るのかを、仕事を少しずつ足し合わせる方法で導きます。

コンデンサーのエネルギーは何を表しているか

次の図のような回路でスイッチを閉じると、電池が電荷を運んで、コンデンサーの極板に +Q+Q と −Q-Q がたまります。

充電の回路。極板に +Q と −Q がたまる

コンデンサーのエネルギーは、電荷を極板に運ぶためにした仕事が、電場のエネルギーとしてたくわえられたもの です。

コンデンサーのエネルギーの導出

1. 途中の電圧を表す

電気量が 00 から QQ までたまる途中で、電気量が qq のときを考えます。Q=CVQ=CV の関係は途中でも成り立つので、そのときの極板間の電圧は

v=qC v=\frac{q}{C}

2. 小さな電気量を運ぶ仕事

電圧 vv の極板間を、さらに小さな電気量 Δq\Delta q を運ぶのに必要な仕事は、（電気量）×（電圧）で v Δqv\,\Delta q です。Δq\Delta q が小さければ、その間の電圧の変化は無視できます。

3. 足し合わせる

横軸に qq、縦軸に vv をとると、v Δqv\,\Delta q は細い長方形の面積です。

細い長方形 vΔq を足すと、三角形の面積 ½QV になる

q=0q=0 から QQ まで足し合わせると、直線 v=qCv=\dfrac{q}{C} の下の三角形の面積になります。底辺 QQ、高さ VV なので

U=12QV U=\frac{1}{2}QV

積分で書くと、U=∫0QqC dq=Q22CU=\displaystyle\int_0^Q\frac{q}{C}\,dq=\frac{Q^2}{2C} で、同じ値です。

4. ほかの形に書きかえる

Q=CVQ=CV を代入すると

U=12⋅CV⋅V=12CV2U=12⋅Q⋅QC=Q22C \begin{aligned} U&=\frac{1}{2}\cdot CV\cdot V=\frac{1}{2}CV^2\\[4pt] U&=\frac{1}{2}\cdot Q\cdot\frac{Q}{C}=\frac{Q^2}{2C} \end{aligned}

電圧が 00 から VV まで一定の割合で増えていくので、平均の電圧 V2\dfrac{V}{2} で運んだのと同じになる 、と考えることもできます。

使い方の例題

例題

電気容量 2.0 μF2.0\,\mu\mathrm{F} のコンデンサーを、電圧 100 V100\,\mathrm{V} の電池で充電した。たまった電気量と、たくわえられたエネルギーを求めよ。

2.0 μF=2.0×10−6 F2.0\,\mu\mathrm{F}=2.0\times10^{-6}\,\mathrm{F} です。

Q=CV=2.0×10−6×100=2.0×10−4 CU=12CV2=12×2.0×10−6×1002=1.0×10−2 J \begin{aligned} Q&=CV=2.0\times10^{-6}\times 100=2.0\times10^{-4}\ \mathrm{C}\\[4pt] U&=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}\times 2.0\times10^{-6}\times 100^2=1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J} \end{aligned}

検算：U=12QV=12×2.0×10−4×100=1.0×10−2 JU=\dfrac{1}{2}QV=\dfrac{1}{2}\times 2.0\times10^{-4}\times 100=1.0\times10^{-2}\,\mathrm{J}、U=Q22C=(2.0×10−4)22×2.0×10−6=1.0×10−2 JU=\dfrac{Q^2}{2C}=\dfrac{(2.0\times10^{-4})^2}{2\times 2.0\times10^{-6}}=1.0\times10^{-2}\,\mathrm{J} で、3つの形すべて一致します。単位も F⋅V2=C⋅V=J\mathrm{F\cdot V^2}=\mathrm{C\cdot V}=\mathrm{J} で合っています。

コンデンサーのエネルギーの発展的な使い方

電池は電荷 QQ を電圧 VV で送り出すので、電池がする仕事は QVQV です。ところが、コンデンサーにたまるのは 12QV\dfrac{1}{2}QV だけです。残りはどこへ行ったのかを、エネルギー保存の法則で考えます。

発展例題

例題の回路（電気容量 2.0 μF2.0\,\mu\mathrm{F}、電池 100 V100\,\mathrm{V}）で、電池とコンデンサーの間に抵抗 RR が入っている。はじめコンデンサーに電荷はなかった。スイッチを閉じて十分に時間がたつまでについて、次のものを求めよ。

(1) 電池がした仕事

(2) 抵抗で発生したジュール熱

1. 電池がした仕事

電池は電気量 Q=2.0×10−4 CQ=2.0\times10^{-4}\,\mathrm{C} を、電圧 100 V100\,\mathrm{V} で送り出したので

W=QV=2.0×10−4×100=2.0×10−2 J W=QV=2.0\times10^{-4}\times 100=2.0\times10^{-2}\ \mathrm{J}

2. エネルギー保存の法則を使う

電池がした仕事は、コンデンサーのエネルギーと、抵抗で発生するジュール熱 JJ に分かれます。

W=U+JJ=W−U=2.0×10−2−1.0×10−2=1.0×10−2 J \begin{aligned} W&=U+J\\[4pt] J&=W-U=2.0\times10^{-2}-1.0\times10^{-2}=1.0\times10^{-2}\ \mathrm{J} \end{aligned}

この問題では、電池の仕事 QVQV とコンデンサーのエネルギー 12QV\dfrac{1}{2}QV の差を、エネルギー保存の法則でジュール熱と考えました 。電池の仕事のちょうど半分が熱になり、この結果は抵抗 RR の大きさによりません。

検算（別の方法）：充電中の電流は I=VRe−t/(RC)I=\dfrac{V}{R}e^{-t/(RC)} と表されます（物理の発展的な内容）。ジュール熱 ∫0∞RI2 dt=V2R⋅RC2=12CV2\displaystyle\int_0^\infty RI^2\,dt=\frac{V^2}{R}\cdot\frac{RC}{2}=\frac{1}{2}CV^2 を計算すると、RR によらず 1.0×10−2 J1.0\times10^{-2}\,\mathrm{J} となり一致します。R=1.0 kΩR=1.0\,\mathrm{k\Omega} として、時間を細かく区切って RI2ΔtRI^2\Delta t を足し合わせる数値計算でも同じ値になります。

注意

電池がする仕事 QVQV と、コンデンサーのエネルギー 12QV\dfrac{1}{2}QV を混同しないようにしましょう。12\dfrac{1}{2} が付くのは、充電の途中で電圧が 00 から VV まで増えていくからです。

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この記事のまとめ

  • 途中の電圧は v=qCv=\dfrac{q}{C}。小さな電気量を運ぶ仕事 v Δqv\,\Delta q を足すと、グラフの三角形の面積 12QV\dfrac{1}{2}QV。
  • Q=CVQ=CV で書きかえると U=12CV2=Q22CU=\dfrac{1}{2}CV^2=\dfrac{Q^2}{2C}。
  • 電池の仕事は QVQV で、その半分がコンデンサーに、残りの半分が抵抗のジュール熱になる。

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