置換積分の公式の導出：合成関数の微分を逆にたどる

置換積分は、数学IIIの積分でいちばんよく使う計算方法の1つです。この記事では、合成関数の微分を逆にたどって公式を導きます。積の微分を逆にたどる部分積分と対になる考え方です。

置換積分の公式は何を言っているか

$\displaystyle\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ のような積分は、そのままでは計算しにくい形です。ここで $u=x^2+1$ とおくと、$2x$ がちょうど $u$ の微分になっていて、式が $\displaystyle\int u^3\,du$ に変わります。

公式は、かたまり $g(x)$ を1つの文字 $u$ とみなし、$g'(x)\,dx$ を $du$ に置きかえてよい ことを言っています。

置換積分の公式の導出

1. $f$ の原始関数を1つとる

$F'(u)=f(u)$ となる関数 $F$ をとります。つまり

2. 合成関数 $F(g(x))$ を微分する

合成関数の微分法より

2行目は、$F'=f$ を使いました。

3. 逆向きに読む

手順2から、$F(g(x))$ は $f(g(x))\,g'(x)$ の原始関数です。

これで不定積分の公式が導けました。

4. 定積分の場合

手順3の原始関数を使って定積分を計算します。

積分区間も $x$ の範囲から $u$ の範囲に置きかえる のは、このためです。

グラフで見る

$\displaystyle\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$ と $\displaystyle\int_1^2 u^3\,du$ を比べると、グラフの形も区間も違いますが、面積は等しくなります。

使い方の例題

$u=x^2+1$ とおくと、$\dfrac{du}{dx}=2x$ より $2x\,dx=du$ です。$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=2$ なので

検算：$(x^2+1)^3=x^6+3x^4+3x^2+1$ を展開して $2x$ を掛けると $2x^7+6x^5+6x^3+2x$。これを $0$ から $1$ まで積分すると $\dfrac{2}{8}+\dfrac{6}{6}+\dfrac{6}{4}+\dfrac{2}{2}=\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{15}{4}$ で一致します。

置換積分の公式の発展的な使い方

公式を右辺から左辺へ読むと、$x$ を別の変数の式でおく置換もできます。$\sqrt{1-x^2}$ を含む積分では、$x=\sin\theta$ とおくと根号が外れます。

1. 置きかえる

$x=\sin\theta$ とおくと、$\dfrac{dx}{d\theta}=\cos\theta$ より $dx=\cos\theta\,d\theta$ です。$x$ が $0$ から $1$ まで動くとき、$\theta$ は $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで動きます。

2. 根号を外す

$0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos\theta\ge 0$ なので

3. 積分する

$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$ を使います。

この問題では、$x=\sin\theta$ と $x$ のほうを置きかえて、$\sqrt{1-x^2}$ を $\cos\theta$ に変えました 。

検算（別の方法）：$y=\sqrt{1-x^2}$ は $x^2+y^2=1$（$y\ge 0$）なので、グラフは半径 $1$ の円の上半分です。$0\le x\le 1$ の部分は四分円で、面積は $\dfrac{1}{4}\pi\cdot 1^2=\dfrac{\pi}{4}$ となり一致します。