チェバの定理の証明：面積の比で3つの比の積が1になる理由

チェバの定理は、三角形の頂点から引いた3本の線が1点で交わるときの、辺の比の関係です。数学Aの「図形の性質」で学びます。この記事では、面積の比だけを使って証明します。

チェバの定理は何を言っているか

式の分数は、A → F → B → D → C → E → A と、三角形の周を一筆書きで1周する順に並んでいます。3本の線が1点で交わるとき、周を1周する順に取った3つの比の積は必ず1になる 、というのが定理の中身です。2つの比が分かれば、残り1つの比が決まります。

チェバの定理の証明

1. 線分の比を面積の比にする

△ABP と △ACP は、辺 AP を共通にもちます。AP を底辺とみると、高さは B と C から直線 AD までの距離です。

B と C から直線 AD に下ろした垂線は平行で、その長さの比は BD:DC に等しくなります（直線 BC 上で、D を中心にした相似な直角三角形ができるため）。したがって

2. 残りの2つの比も面積で表す

同じように、辺 BP を共有する △BCP と △BAP、辺 CP を共有する △CAP と △CBP を考えると

3. かけ合わせる

$\triangle\mathrm{ABP}=\triangle\mathrm{BAP}$ のように、同じ三角形をまとめて書きます。

分子と分母に同じ3つの三角形が1回ずつ現れるので、すべて約分されて $1$ になります。

使い方の例題

チェバの定理より

よって $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=2:3$ です。

検算：座標で確かめます。$\mathrm{A}(0,\ 6)$、$\mathrm{B}(0,\ 0)$、$\mathrm{C}(4,\ 0)$ とすると、$\mathrm{F}(0,\ 4)$、$\mathrm{D}(3,\ 0)$。直線 AD：$y=-2x+6$ と直線 CF：$y=-x+4$ の交点は $\mathrm{P}(2,\ 2)$ です。直線 BP（$y=x$）と CA（$y=-\dfrac{3}{2}x+6$）の交点は $\mathrm{E}\left(\dfrac{12}{5},\ \dfrac{12}{5}\right)$ で、$x$ 座標の差で比べると $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=\left(4-\dfrac{12}{5}\right):\left(\dfrac{12}{5}-0\right)=\dfrac{8}{5}:\dfrac{12}{5}=2:3$ となり、一致します。

チェバの定理の発展的な使い方

証明の手順1・2で出てきた「線分の比＝面積の比」を逆に使うと、点 P のまわりの3つの三角形の面積の比が分かります。

1. 面積の比を2つ書く

手順1・2の式より

2. 3つをそろえる

$\triangle\mathrm{PAB}=3$ とすると、$\triangle\mathrm{PCA}=1$、$\triangle\mathrm{PBC}=2$ です。

3. AP:PD を求める

△ABC 全体は $2+1+3=6$ です。△ABC と △PBC は底辺 BC が共通なので、面積の比は A と P から BC までの高さの比、つまり $\mathrm{AD}:\mathrm{PD}$ に等しくなります。

よって $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=(3-1):1=2:1$ です。

この問題では、チェバの定理の証明で使った「線分の比＝面積の比」を逆向きに使い、面積の比から長さの比を求めました 。

検算（別の方法）：例題の検算の座標では $\mathrm{A}(0,\ 6)$、$\mathrm{P}(2,\ 2)$、$\mathrm{D}(3,\ 0)$ です。$\mathrm{AP}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$、$\mathrm{PD}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ で $2:1$ と一致します。面積も $\triangle\mathrm{PBC}=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$、$\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12$ で、$\dfrac{4}{12}=\dfrac{2}{6}$ と合っています。