部分積分の公式の導出：積の微分を逆にたどる

数学3C積分法とその応用公式の成立 更新
目次

部分積分法

∫f(x) g′(x) dx=f(x) g(x)−∫f′(x) g(x) dx \int f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f'(x)\,g(x)\,dx

定積分では

∫abf(x) g′(x) dx=[ f(x) g(x) ]ab−∫abf′(x) g(x) dx \int_a^b f(x)\,g'(x)\,dx=\Big[\,f(x)\,g(x)\,\Big]_a^b-\int_a^b f'(x)\,g(x)\,dx

この記事の要点

  • 積の微分 {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) の両辺を積分し、移項するだけで導ける
  • 「積分しにくい積」を、「微分すると簡単になる方 ff」と「積分できる方 g′g'」に分けて使う
  • 答えは微分してもとの関数に戻るかで検算できる

∫xex dx\displaystyle\int xe^x\,dx や ∫log⁡x dx\displaystyle\int\log x\,dx のように、そのままでは積分できない関数に使うのが部分積分法です。公式は覚えにくい形に見えますが、もとは数学IIIで習う積の微分の公式を逆にたどったものです。この記事では、その導き方を一行ずつ確かめます。

部分積分の公式は何を言っているか

公式の左辺 ∫f(x)g′(x) dx\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx は「ff と g′g' の積」の積分です。右辺では、ff が微分されて f′f' に、g′g' が積分されて gg になり、別の積分 ∫f′(x)g(x) dx\displaystyle\int f'(x)g(x)\,dx に置きかわっています。

積の片方を微分し、もう片方を積分すると、積分しやすい形に変わることがある というのが、この公式の使い道です。

部分積分の公式の導出

1. 積の微分の公式から始める

{f(x) g(x)}′=f′(x) g(x)+f(x) g′(x) \{f(x)\,g(x)\}'=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)

2. 両辺を xx で積分する

左辺は f(x)g(x)f(x)g(x) を微分したものなので、積分すると f(x)g(x)f(x)g(x) に戻ります（積分定数は最後にまとめて考えます）。

f(x) g(x)=∫f′(x) g(x) dx+∫f(x) g′(x) dx f(x)\,g(x)=\int f'(x)\,g(x)\,dx+\int f(x)\,g'(x)\,dx

3. 移項する

右辺の ∫f′(x)g(x) dx\displaystyle\int f'(x)g(x)\,dx を左辺に移して左右を入れかえると

∫f(x) g′(x) dx=f(x) g(x)−∫f′(x) g(x) dx \int f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f'(x)\,g(x)\,dx

が得られます。定積分の形も、手順2で両辺を aa から bb まで積分すれば同じように導けます。

面積の図で見る

u=f(x), v=g(x)u=f(x),\ v=g(x) とおくと、公式は ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du と書けます。u, vu,\ v がどちらも 00 から増えていく場合には、これを面積として見ることができます。

曲線の下の面積 ∫v du と、左の面積 ∫u dv を合わせると、長方形 u × v になる

曲線は、長方形 u×vu\times v を「曲線の下の部分 ∫v du\displaystyle\int v\,du」と「曲線の左の部分 ∫u dv\displaystyle\int u\,dv」に分けています。2つを足すと長方形になる ので、∫u dv=uv−∫v du\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du です。

使い方の例題

例題

次の不定積分を求めよ。

(1) ∫xex dx\displaystyle\int xe^x\,dx　(2) ∫log⁡x dx\displaystyle\int\log x\,dx

(1) f(x)=x, g′(x)=exf(x)=x,\ g'(x)=e^x とします。f′(x)=1f'(x)=1 で xx が消え、g(x)=exg(x)=e^x は積分しても形が変わらないからです。

∫xex dx=xex−∫1⋅ex dx=xex−ex+C \begin{aligned} \int xe^x\,dx&=xe^x-\int 1\cdot e^x\,dx\\[4pt] &=xe^x-e^x+C \end{aligned}

（CC は積分定数）

(2) log⁡x=log⁡x⋅1\log x=\log x\cdot 1 と見て、f(x)=log⁡x, g′(x)=1f(x)=\log x,\ g'(x)=1 とします。f′(x)=1xf'(x)=\dfrac{1}{x}、g(x)=xg(x)=x です。

∫log⁡x dx=xlog⁡x−∫1x⋅x dx=xlog⁡x−∫1 dx=xlog⁡x−x+C \begin{aligned} \int\log x\,dx&=x\log x-\int\frac{1}{x}\cdot x\,dx\\[4pt] &=x\log x-\int 1\,dx\\[4pt] &=x\log x-x+C \end{aligned}

検算：答えを微分して、もとの関数に戻るかを確かめます。

(xex−ex)′=(ex+xex)−ex=xex(xlog⁡x−x)′=(log⁡x+x⋅1x)−1=log⁡x \begin{aligned} (xe^x-e^x)'&=(e^x+xe^x)-e^x=xe^x\\[4pt] (x\log x-x)'&=\left(\log x+x\cdot\frac{1}{x}\right)-1=\log x \end{aligned}

どちらも積の微分の公式を使って計算し、もとの関数に戻りました。

注意

ff と g′g' の選び方を逆にすると、積分がかえって難しくなります。(1) で f=ex, g′=xf=e^x,\ g'=x とすると、右辺に ∫x22ex dx\displaystyle\int\frac{x^2}{2}e^x\,dx が現れて、xx の次数が上がってしまいます。「微分すると簡単になる方」を ff に選びましょう。

この記事のまとめ

  • 積の微分 (fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg' を積分して移項すると、部分積分の公式になる。
  • 面積で見ると、∫u dv\int u\,dv と ∫v du\int v\,du の和が長方形 uvuv になる。
  • 微分すると簡単になる方を ff に選び、答えは微分して検算する。

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