微分は速度、2回微分は加速度：物理の運動を数学で読む

コラム物理へのつながり更新 2026/11/03

位置・速度・加速度の関係

時刻 $t$ での位置を $x(t)$ とすると、

v(t)=\frac{dx}{dt},\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}

速度は位置の微分、加速度は速度の微分（位置の2回微分）である。

この記事の要点

平均の速度は x-t グラフの割線の傾き、瞬間の速度は接線の傾き（＝微分係数）
自由落下 $x=\dfrac{g}{2}t^2$ を微分すると $v=gt$ 、もう一度微分すると $a=g$
物理基礎の等加速度直線運動の公式は、どれも微分から導ける

数学IIで習う微分は、もともと「動いているものの速さ」を表すために生まれた考え方です。この記事では、物理の速度・加速度が数学の微分そのものであることを、自由落下を例に確かめます。

平均の速度は「割線の傾き」

物体をそっと落とすと、 $t$ 秒後に落ちた距離 $x$ [m] は、空気の抵抗を考えなければ

x=\frac{g}{2}\,t^2 \qquad (g\fallingdotseq 9.8\ \mathrm{m/s^2})

で表されます。 $g$ は重力加速度です。

時刻 $t=1$ から $t=1+h$ までの平均の速度は、「進んだ距離 ÷ かかった時間」です。

\begin{aligned} \frac{x(1+h)-x(1)}{h} &=\frac{g}{2}\cdot\frac{(1+h)^2-1^2}{h}\\[4pt] &=\frac{g}{2}\cdot\frac{2h+h^2}{h}\\[4pt] &=\frac{g}{2}\,(2+h) \end{aligned}

1行目は共通の $\dfrac{g}{2}$ を前に出し、2行目は $(1+h)^2=1+2h+h^2$ を展開して $1$ を打ち消しました。3行目は分子と分母を $h$ で割っています。

たとえば $h=0.6$ なら、 $4.9\times 2.6=12.74$ [m/s] です。これは x-t グラフ上の2点 P（ $t=1$ ）と Q（ $t=1.6$ ）を結ぶ割線の傾きにあたります。

x = 4.9t² のグラフ。割線の傾きが平均の速度、接線の傾きが瞬間の速度

瞬間の速度は「接線の傾き」＝微分

Q を P に近づける、つまり $h$ を $0$ に近づけると、割線は P での接線に近づきます。平均の速度は

\lim_{h\to 0}\frac{g}{2}\,(2+h)=\frac{g}{2}\times 2=g

となり、これが $t=1$ の瞬間の速度 $9.8$ m/s です。この計算は、数学IIの微分係数の定義そのものです。

同じことをどの時刻 $t$ でも行うと、位置 $x$ を時間 $t$ で微分したものが速度 $v$ になります。

v=\frac{dx}{dt}=\frac{g}{2}\times 2t=gt

もう一度微分すると加速度

速度の変化の割合が加速度です。速度 $v=gt$ をもう一度 $t$ で微分すると

a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(gt)=g

となり、加速度はいつでも $g$ で一定です。自由落下が「等加速度直線運動」と呼ばれるのはこのためです。

一般に、初めの位置を $x_0$ 、初速度を $v_0$ 、加速度を $a$ （一定）とすると、位置は次の式で表されます。

x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2

これを微分すると、物理基礎で習う公式がそのまま出てきます。

v=\frac{dx}{dt}=v_0+at,\qquad \frac{dv}{dt}=a

さらに $v=v_0+at$ から $t=\dfrac{v-v_0}{a}$ として $x$ の式に代入し整理すると、時刻を含まない公式

v^2-v_0^2=2a(x-x_0)

も得られます。物理の3つの公式は、別々に覚えるものではなく、1つの式とその微分だと分かります。

逆向きは積分

速度を時間で積分すると、進んだ距離（位置の変化）が求まります。v-t グラフの面積が移動距離になるのはこのためです。積分と物理のつながりは、別のコラムで扱う予定です。

微分は「運動を表すため」に生まれた

微分と積分の考え方をまとめた一人が、イギリスのニュートンです。ペストの流行で大学が閉鎖された1665年から1667年ごろ、故郷で研究を進め、変化する量の「流れの速さ」を求める方法を 流率法（method of fluxions） と呼びました。この考え方は、1687年に出版された『プリンキピア（自然哲学の数学的諸原理）』で、惑星や物体の運動を説明する土台になりました。

同じころ、ドイツのライプニッツも独立に微分積分を考えています。微分は、もともと物の動きを数式で表すための道具だったのです。

この記事のまとめ

平均の速度は割線の傾き、瞬間の速度は接線の傾き（微分係数）
位置を1回微分すると速度、2回微分すると加速度
等加速度直線運動の公式 $v=v_0+at$ 、 $x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$ 、 $v^2-v_0^2=2a(x-x_0)$ は、微分でつながっている

微分の定義そのものについては、数学IIの「微分法」の記事で、極限の計算から順に解説していく予定です。

参考にした資料

J. J. O’Connor, E. F. Robertson「Isaac Newton」MacTutor History of Mathematics（セント・アンドルーズ大学）
J. J. O’Connor, E. F. Robertson「Gottfried Wilhelm von Leibniz」MacTutor History of Mathematics
George Smith「Isaac Newton」Stanford Encyclopedia of Philosophy

平均の速度は「割線の傾き」

瞬間の速度は「接線の傾き」＝微分

もう一度微分すると加速度

微分は「運動を表すため」に生まれた

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